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在△ABC中，內角A、B、C所對邊的邊長分別是a、b、c，已知c=2，C=.

(Ⅰ)若△ABC的面積等于，求a、b;

(Ⅱ)若,求△ABC的面積.

【解析】第一問中利用余弦定理及已知條件得又因為△ABC的面積等于，所以，得聯立方程，解方程組得.

第二問中。由于即為即.

當時， , ,   ,  所以當時，得，由正弦定理得，聯立方程組，解得,得到。

解：（Ⅰ） （Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，………1分

又因為△ABC的面積等于，所以，得，………1分

聯立方程，解方程組得.                 ……………2分

（Ⅱ）由題意得，

即.             …………2分

當時， , ,   ,          ……1分

所以        ………………1分

當時，得，由正弦定理得，聯立方程組

，解得,;   所以

 

已知，（其中）

⑴求及；

⑵試比較與的大小，并說明理由．

【解析】第一問中取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導，得

取，則得到結論

第二問中，要比較與的大小，即比較：與的大小，歸納猜想可得結論當時，；

當時，；

當時，；

猜想：當時，運用數學歸納法證明即可。

解：⑴取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導，得，

取，則。       …………4分

⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，

當時，；

當時，；

當時，；                              …………6分

猜想：當時，，下面用數學歸納法證明：

由上述過程可知，時結論成立，

假設當時結論成立，即，

當時,

而

∴

即時結論也成立，

∴當時，成立。                          …………11分

綜上得，當時，；

當時，；

當時， 

 

設橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上且異于兩點，為坐標原點.

（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解：設點P的坐標為.由題意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以橢圓的離心率

（2）證明：（方法一）

依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.

由條件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.

由P在橢圓上，有

因為，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

 

如圖是單位圓上的點，分別是圓與軸的兩交點，為正三角形.

（1）若點坐標為，求的值；

（2）若，四邊形的周長為，試將表示成的函數，并求出的最大值.

【解析】第一問利用設 

∵  A點坐標為∴   ，

（2）中 由條件知  AB=1，CD=2 ，

在中，由余弦定理得 

  ∴ 

∵       ∴    ，

∴  當時，即 當 時 ， y有最大值5. .

 

附加題) 某電視臺的一個智力游戲節目中，有一道將四本由不同作者所著的外國名著A、B、C、D與它們的作者連線的題目，每本名著只能與一名作者連線，每名作者也只能與一本名著連線。每連對一個得3分，連錯得一1分，一名觀眾隨意連線，他的得分記作X。

   （1）求該觀眾得分非負的概率；

   （2）求X的分布列及數學期望。