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15.已知函數(shù)f(x)=(m∈R.e=2.71828-是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). (1)求函數(shù)f(x)的極值, (2)當(dāng)x>0時(shí).設(shè)f(x)的反函數(shù)為f-1(x).對(duì)0<p<q.試比較f(q-p).f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大小. 解:(1)當(dāng)x>0.f(x)=ex-1在上單調(diào)遞增.且f(x)=ex-1>0, 當(dāng)x≤0時(shí).f(x)=x3+mx2.此時(shí)f′(x)=x2+2mx=x(x+2m). ①若m=0.f′(x)=x2≥0.則f(x)=x3.在(-∞.0]上單調(diào)遞增.且f(x)=x3≤0. 又f(0)=0.可知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.無極值. ②若m<0.令f′(x)=x(x+2m)>0 ⇒x<0或x>-2m. 函數(shù)f(x)=x3+mx2在(-∞.0]上單調(diào)遞增. 同理.函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.無極值. ③若m>0.令f′(x)=x(x+2m)>0⇒x>0或x<-2m. 函數(shù)f(x)=x3+mx2在(-∞.-2m]上單調(diào)遞增.在(-2m,0]上單調(diào)遞減. 此時(shí)函數(shù)f(x)在x=-2m處取得極大值:f(-2m)=m3+4m3=m3>0, 又f(x)在上單調(diào)遞增.故在x=0處取得極小值:f(0)=0. 綜上可知.當(dāng)m>0時(shí).f(x)的極大值為m3.極小值為0,當(dāng)m≤0時(shí).f(x)無極值. (2)當(dāng)x>0時(shí).設(shè)y=f(x)=ex-1⇒y+1=ex⇒x=ln(y+1). ∴f-1(x)=ln(x+1)(x>0). (ⅰ)比較f(q-p)與f-1(q-p)的大小. 記g(x)=f(x)-f-1(x)=ex-ln(x+1)-1(x>0). ∵g′(x)=ex-在上是單調(diào)遞增函數(shù). ∴g′(x)>g′(0)=e0-=0恒成立. ∴函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增. ∴g(x)>g(0)=e0-ln(0+1)-1=0. 當(dāng)0<p<q時(shí).有q-p>0. ∴g(q-p)=eq-p-ln(q-p+1)-1>0. ∴eq-p-1>ln(q-p+1).即f(q-p)>f-1(q-p).① (ⅱ)比較f-1(q-p)與f-1(q)-f-1(p)的大小. ln(q-p+1)-[ln(q+1)-ln(p+1)] =ln(q-p+1)-ln(q+1)+ln(p+1) =ln =ln =ln =ln =ln[+1]. ∵0<p<q.∴+1>1.故ln[+1]>0. ∴l(xiāng)n(q-p+1)>ln(q+1)-ln(p+1). 即f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p).② ∴由①②可知.當(dāng)0<p<q時(shí).有f(q-p)>f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p). 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

  已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x無實(shí)根,下列命題中:

    (1)方程f [f (x)]=x一定無實(shí)根;

    (2)若a>0,則不等式f [f (x)]>x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立;

    (3)若a<0,則必存在實(shí)數(shù)x0,使f [f (x0)]>x0;

    (4)若a+b+c=0,則不等式f [f (x)]<x對(duì)一切x都成立;

    正確的序號(hào)有          .              

 

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已知函數(shù)f(x)=4x2mx+5在區(qū)間[-2,+∞)上是增函數(shù),則f(1)的范圍是(  )

A.f(1)≥25         B.f(1)=25     C.f(1)≤25         D.f(1)>25

 

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已知函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|-()x有兩個(gè)零點(diǎn)x1x2,則有

A.x1x2<1    B.x1x2<x1x2

C.x1x2x1x2    D.x1x2>x1x2

 

 

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已知函數(shù)f(x)=若f(a)=,則a=                 (  )

A.-1                      B.

C.-1或                 D.1或-

 

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(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a為正數(shù)).
(1) 若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3) 設(shè)g(x)=x2-2x,若對(duì)任意的x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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