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橢圓與雙曲線之間有許多類似的性質(zhì)：
P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任一點，焦點F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面積為b2
sinα
1+cosα
，類比，P是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上任一點，焦點F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面積為
b2
sinα
1-cosα
b2
sinα
1-cosα
．
分析：類似橢圓的性質(zhì)，將面積表達式的“+”號改成“-”即得b2
sinα
1-cosα
．設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，根據(jù)三角形面積公式可表示出△PF1F2的面積，由余弦定理可求得r1r2的表達式，進而求得S與b和tanθ的關(guān)系式，原式得證．
解答：解：類似橢圓的性質(zhì)：P是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上任一點，焦點F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面積為 b2
sinα
1-cosα
．
證明：設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，
則S=
1
2
r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c，
由余弦定理有
（2c）2=r12+r22-2r1r2cos2θ=（r1+r2）2-2r1r2-2r1r2cos2θ=（2a）2-2r1r2（1+cos2θ），
于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2-4c2=4b2．
所以r1r2=
2b2
1+cos2θ
．
這樣即有S=
1
2
•
2b2
1+cos2θ
sin2θ=b2
2sinθcosθ
2cos2θ
=b2
sinα
1-cosα
．
故答案為：b2
sinα
1-cosα
．
點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，有些圓錐曲線問題用定義去解決比較方便．如本題，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，則S=
1
2
r1r2sin2θ．若能消去r1r2，問題即獲解決．
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橢圓與雙曲線之間有許多類似的性質(zhì)：
P是橢圓數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1（a＞b＞0）上任一點，焦點F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面積為b2數(shù)學(xué)公式，類比，P是雙曲線數(shù)學(xué)公式-數(shù)學(xué)公式=1（a＞0，b＞0）上任一點，焦點F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面積為________．

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橢圓與雙曲線之間有許多類似的性質(zhì)：
P是橢圓+=1（a＞b＞0）上任一點，焦點F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面積為b2，類比，P是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）上任一點，焦點F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面積為    ．

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