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已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

10

2

．求橢圓的方程．

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，左焦點為F，左準線與x軸的交點為M，

OM

=4

OF

．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）過左焦點F且斜率為

2

的直線與橢圓交于A、B兩點，若

OA

•

OB

=-2，求橢圓的方程．

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，點P（2，3）、A、B在該橢圓上，線段AB的中點T在直線OP上，且A、O、B三點不共線．
（I）求橢圓的方程及直線AB的斜率；
（Ⅱ）求△PAB面積的最大值．

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l過點P（0，2）且與橢圓相交于A、B兩點，當△AOB面積取得最大值時，求直線l的方程．