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函數與方程的思想是求數量關系的主要思想方法.一個數學問題.如能建立描述其數量特征的函數表達式.或列出表示其數量關系的方程式.則一般可使問題得到解答. 例4.已知平行四邊形中.點的坐標分別為(.點在橢圓上移動.求點的軌跡方程. 分析:因為平行四邊形的對邊平行且相等.所以可以將本題轉化為相等向量的性質來求解. 解:設的坐標分別為 則 在平行四邊形中. 點在橢圓上. 把點坐標代入橢圓方程中. 即得點的軌跡方程: 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數

   (1)若的極值點,求實數a的值;

   (2)若上為增函數,求實數a的取值范圍;

   (3)當有實根,求實數b的最大值。

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。主要是極值的概念和根據單調區間,求解參數的取值范圍,以及利用函數與方程的思想求解參數b的最值。

 

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已知函數f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函數f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

單調遞減;當單調遞增,故當時,取最小值

于是對一切恒成立,當且僅當.        ①

時,單調遞增;當時,單調遞減.

故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.

綜上所述,的取值集合為.

(Ⅱ)由題意知,

,則.當時,單調遞減;當時,單調遞增.故當

從而

所以因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線,所以存在使成立.

【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數,研究這個函數的性質進行分析判斷.

 

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