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[解析]對于.即有.令.有.不妨設..即有.因此有.因此有. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

(Ⅰ)求實數的值; 

(Ⅱ)求在區間上的最大值;

(Ⅲ)對任意給定的正實數,曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.

【解析】第一問當時,,則

依題意得:,即    解得

第二問當時,,令,結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定,得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設,則,顯然

是以O為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

(Ⅰ)當時,,則

依題意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①當時,,令

變化時,的變化情況如下表:

0

0

+

0

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

。∴上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0;

時, 上單調遞增。∴最大值為

綜上,當時,即時,在區間上的最大值為2;

時,即時,在區間上的最大值為

(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設,則,顯然

是以O為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

,則代入(*)式得:

,而此方程無解,因此。此時

代入(*)式得:    即   (**)

 ,則

上單調遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是

∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

因此,對任意給定的正實數,曲線上存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上

 

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