題目列表(包括答案和解析)
已知曲線上動點
到定點
與定直線
的距離之比為常數
.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若過點引曲線C的弦AB恰好被點
平分,求弦AB所在的直線方程;
(3)以曲線的左頂點
為圓心作圓
:
,設圓
與曲線
交于點
與點
,求
的最小值,并求此時圓
的方程.
【解析】第一問利用(1)過點作直線
的垂線,垂足為D.
代入坐標得到
第二問當斜率k不存在時,檢驗得不符合要求;
當直線l的斜率為k時,;,化簡得
第三問點N與點M關于X軸對稱,設,, 不妨設
.
由于點M在橢圓C上,所以.
由已知,則
,
由于,故當
時,
取得最小值為
.
計算得,,故
,又點
在圓
上,代入圓的方程得到
.
故圓T的方程為:
過拋物線的對稱軸上的定點
,作直線
與拋物線相交于
兩點.
(I)試證明兩點的縱坐標之積為定值;
(II)若點是定直線
上的任一點,試探索三條直線
的斜率之間的關系,并給出證明.
【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發現問題和解決問題的能力.
(1)中證明:設下證之:設直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韋達定理得
(2)中:因為三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數列,下證之
設點N(-m,n),則直線AN的斜率KAN=,直線BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發現問題和解決問題的能力.
設拋物線:
(
>0)的焦點為
,準線為
,
為
上一點,已知以
為圓心,
為半徑的圓
交
于
,
兩點.
(Ⅰ)若,
的面積為
,求
的值及圓
的方程;
(Ⅱ)若,
,
三點在同一條直線
上,直線
與
平行,且
與
只有一個公共點,求坐標原點到
,
距離的比值.
【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、點到直線距離公式、線線平行等基礎知識,考查數形結合思想和運算求解能力.
【解析】設準線于
軸的焦點為E,圓F的半徑為
,
則|FE|=,
=
,E是BD的中點,
(Ⅰ) ∵,∴
=
,|BD|=
,
設A(,
),根據拋物線定義得,|FA|=
,
∵的面積為
,∴
=
=
=
,解得
=2,
∴F(0,1), FA|=, ∴圓F的方程為:
;
(Ⅱ) 解析1∵,
,
三點在同一條直線
上, ∴
是圓
的直徑,
,
由拋物線定義知,∴
,∴
的斜率為
或-
,
∴直線的方程為:
,∴原點到直線
的距離
=
,
設直線的方程為:
,代入
得,
,
∵與
只有一個公共點,
∴
=
,∴
,
∴直線的方程為:
,∴原點到直線
的距離
=
,
∴坐標原點到,
距離的比值為3.
解析2由對稱性設,則
點關于點
對稱得:
得:,直線
切點
直線
坐標原點到距離的比值為
已知函數f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
當時
單調遞減;當
時
單調遞增,故當
時,
取最小值
于是對一切恒成立,當且僅當
. ①
令則
當時,
單調遞增;當
時,
單調遞減.
故當時,
取最大值
.因此,當且僅當
時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為
.
(Ⅱ)由題意知,令
則
令,則
.當
時,
單調遞減;當
時,
單調遞增.故當
,
即
從而,
又
所以因為函數
在區間
上的圖像是連續不斷的一條曲線,所以存在
使
即
成立.
【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值
對一切x∈R,f(x)
1恒成立轉化為
從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數,研究這個函數的性質進行分析判斷.
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