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[解析]:由得. 即.∴∴.∴切線方程為 .即選A 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

單調(diào)遞減;當單調(diào)遞增,故當時,取最小值

于是對一切恒成立,當且僅當.        ①

時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.

故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.

綜上所述,的取值集合為.

(Ⅱ)由題意知,

,則.當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.故當

從而

所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.

 

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已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

(Ⅰ)求實數(shù)的值; 

(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.

【解析】第一問當時,,則

依題意得:,即    解得

第二問當時,,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

(Ⅰ)當時,,則

依題意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①當時,,令

變化時,的變化情況如下表:

0

0

+

0

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

。∴上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0;

時, 上單調(diào)遞增。∴最大值為

綜上,當時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;

時,即時,在區(qū)間上的最大值為

(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

,則代入(*)式得:

,而此方程無解,因此。此時

代入(*)式得:    即   (**)

 ,則

上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是

∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上

 

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求圓心在直線y=-2x上,并且經(jīng)過點A(2,-1),與直線x+y=1相切的圓的方程.

【解析】利用圓心和半徑表示圓的方程,首先

設(shè)圓心為S,則KSA=1,∴SA的方程為:y+1=x-2,即y=x-3,  ………4分

和y=-2x聯(lián)立解得x=1,y=-2,即圓心(1,-2)  

∴r=,

故所求圓的方程為:=2

解:法一:

設(shè)圓心為S,則KSA=1,∴SA的方程為:y+1=x-2,即y=x-3,  ………4分

和y=-2x聯(lián)立解得x=1,y=-2,即圓心(1,-2)             ……………………8分

∴r=,                 ………………………10分

故所求圓的方程為:=2                   ………………………12分

法二:由條件設(shè)所求圓的方程為: 

 ,          ………………………6分

解得a=1,b=-2, =2                     ………………………10分

所求圓的方程為:=2             ………………………12分

其它方法相應(yīng)給分

 

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為常數(shù),離心率為的雙曲線上的動點到兩焦點的距離之和的最小值為,拋物線的焦點與雙曲線的一頂點重合。(Ⅰ)求拋物線的方程;(Ⅱ)過直線為負常數(shù))上任意一點向拋物線引兩條切線,切點分別為,坐標原點恒在以為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)的取值范圍。

【解析】第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為,離心率為,則長軸長為2,故雙曲線的上頂點為,所以拋物線的方程

第二問中,

故直線的方程為,即

所以,同理可得:

借助于根與系數(shù)的關(guān)系得到即是方程的兩個不同的根,所以

由已知易得,即

解:(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為,離心率為,則長軸長為2,故雙曲線的上頂點為,所以拋物線的方程

(Ⅱ)設(shè)

故直線的方程為,即

所以,同理可得:

是方程的兩個不同的根,所以

由已知易得,即

 

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已知點),過點作拋物線的切線,切點分別為(其中).

(Ⅰ)若,求的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點為圓心的圓與直線相切,求圓的方程;

(Ⅲ)若直線的方程是,且以點為圓心的圓與直線相切,

求圓面積的最小值.

【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運用。直線與圓的位置關(guān)系的運用。

中∵直線與曲線相切,且過點,∴,利用求根公式得到結(jié)論先求直線的方程,再利用點P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。

(3)∵直線的方程是,且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑,即,借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值

(Ⅰ)由可得,.  ------1分

∵直線與曲線相切,且過點,∴,即

,或, --------------------3分

同理可得:,或----------------4分

,∴. -----------------5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,則的斜率

∴直線的方程為:,又

,即. -----------------7分

∵點到直線的距離即為圓的半徑,即,--------------8分

故圓的面積為. --------------------9分

(Ⅲ)∵直線的方程是,且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑,即,    ………10分

當且僅當,即時取等號.

故圓面積的最小值

 

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