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[解析]:.由得.∴當時.取極大值0.當時取極小值且極小值為負.故選C. 或當時.當時.選C 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若過點A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問,利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中設(shè)切點為(x0,x03-3x0),因為過點A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依題意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)設(shè)切點為(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切線過點A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.

∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

畫出草圖知,當-6<m<2時,m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范圍是(-6,2).

 

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已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

(Ⅰ)求實數(shù)的值; 

(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.

【解析】第一問當時,,則

依題意得:,即    解得

第二問當時,,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

(Ⅰ)當時,,則

依題意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①當時,,令

變化時,的變化情況如下表:

0

0

+

0

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

。∴上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0;

時, 上單調(diào)遞增。∴最大值為

綜上,當時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;

時,即時,在區(qū)間上的最大值為

(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

,則代入(*)式得:

,而此方程無解,因此。此時

代入(*)式得:    即   (**)

 ,則

上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是

∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上

 

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