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設數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，已知Sn=

n2+3n

2

，bn=12×32-an．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在一個最小正整數M，當n＞M時，S_n＞Tn恒成立？若存在求出這個M值，若不存在，說明理由．

設數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，已知Sn=

n2+3n

2

，bn=12×32-an．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在一個最小正整數M，當n＞M時，S_n＞Tn恒成立？若存在求出這個M值，若不存在，說明理由．
（Ⅲ）設cn=

an-1

(n+1)!

，求數列{c_n}的前n項和U_n及其取值范圍．

已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=

π

3

時，f（x）取得極小值

π

3

-

3

．
（1）求a，b的值；
（2）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
②對任意x∈R都有g（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
試證明：直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．
（3）記h(x)=

1

8

[5x-f(x)]，設x₁是方程h（x）-x=0的實數根，若對于h（x）定義域中任意的x₂、x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，問是否存在一個最小的正整數M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在請求出M的值；若不存在請說明理由．