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在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M （1，-3）、N（5，1），若點C滿足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），點C的軌跡與拋物線：y²=4x交于A、B兩點．
（1）求證：

OA

⊥

OB

；
（2）在x軸上是否存在一點P （m，0），使得過點P任作拋物線的一條弦，并以該弦為直徑的圓都過原點．若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標系中，已知A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，-2)，若實數λ使得λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

（O為坐標原點）
（1）求P點的軌跡方程，并討論P點的軌跡類型；
（2）當λ=

2

2

時，若過點B（0，2）的直線l與（1）中P點的軌跡交于不同的兩點E，F（E在B，F之間），試求△OBE與OBF面積之比的取值范圍．

在平面直角坐標系中，已知點A ( 

1

2

 ， 0 )，點B在直線l：x=-

1

2

上運動，過點B與l垂直的直線和AB的中垂線相交于點M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設點P是軌跡E上的動點，點R，N在y軸上，圓C：（x-1）²+y²=1內切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

在平面直角坐標系中，已知三點A（-2，0）、B（2，0）C(1，

3

)，△ABC的外接圓為圓，橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的右焦點為F．
（1）求圓M的方程；
（2）若點P為圓M上異于A、B的任意一點，過原點O作PF的垂線交直線x=2

2

于點Q，試判斷直線PQ與圓M的位置關系，并給出證明．

在平面直角坐標系中，△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別是（-1，0），（1，0），點G是△ABC的重心，y軸上一點M滿足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（I）求△ABC的頂點C的軌跡E的方程；
（II）不過點A的直線l：y=kx+b與軌跡E交于不同的兩點P、Q，當

AP

•

AQ

=0時，求k與b的關系，并證明直線l過定點．