力學中的平衡:運動狀態未發生改變.即.表現:靜止或勻速直線運動 (1)在重力.彈力.摩擦力作用下的平衡 例1 質量為的物體置于動摩擦因數為的水平面上.現對它施加一個拉力.使它做勻速直線運動.問拉力與水平方向成多大夾角時這個力最小? 解析 取物體為研究對象.物體受到重力.地面的支持力N.摩擦力及拉力T四個力作用.如圖1-1所示. 由于物體在水平面上滑動.則.將和N合成.得到合力F.由圖知F與的夾角: 不管拉力T方向如何變化.F與水平方向的夾角不變.即F為一個方向不發生改變的變力.這顯然屬于三力平衡中的動態平衡問題.由前面討論知.當T與F互相垂直時.T有最小值.即當拉力與水平方向的夾角時.使物體做勻速運動的拉力T最小. (2)摩擦力在平衡問題中的表現 這類問題是指平衡的物體受到了包括摩擦力在內的力的作用.在共點力平衡中.當物體雖然靜止但有運動趨勢時.屬于靜摩擦力,當物體滑動時.屬于動摩擦力.由于摩擦力的方向要隨運動或運動趨勢的方向的改變而改變.靜摩擦力大小還可在一定范圍內變動.因此包括摩擦力在內的平衡問題常常需要多討論幾種情況.要復雜一些.因此做這類題目時要注意兩點 ①由于靜摩擦力的大小和方向都要隨運動趨勢的改變而改變.因此維持物體靜止狀態所需的外力允許有一定范圍,又由于存在著最大靜摩擦力.所以使物體起動所需要的力應大于某一最小的力.總之.包含摩擦力在內的平衡問題.物體維持靜止或起動需要的動力的大小是允許在一定范圍內的.只有當維持勻速運動時.外力才需確定的數值. ②由于滑動摩擦力F=.要特別注意題目中正壓力的大小的分析和計算.防止出現錯誤. 例2 重力為G的物體A受到與豎直方向成角的外力 F后.靜止在豎直墻面上.如圖1-2所示.試求墻對物體A的靜摩擦力. 分析與解答 這是物體在靜摩擦力作用下平衡問題.首先確定研究對象.對研究對象進行受力分析.畫出受力圖.A受豎直向下的重力G.外力F.墻對A水平向右的支持力N.以及還可能有靜摩擦力.這里對靜摩擦力的有無及方向的判斷是極其重要的.物體之間有相對運動趨勢時.它們之間就有靜摩擦力,物體間沒有相對運動趨勢時.它們之間就沒有靜摩擦力.可以假設接觸面是光滑的.若不會相對運動.物體將不受靜摩擦力.若有相對運動就有靜摩擦力.(注意:這種假設的方法在研究物理問題時是常用方法.也是很重要的方法.)具體到這個題目.在豎直方向物體A受重力G以及外力F的豎直分量.即.當接觸面光滑.時.物體能保持靜止,當時.物體A有向下運動的趨勢.那么A應受到向上的靜摩擦力,當時.物體A則有向上運動的趨勢.受到的靜摩擦力的方向向下.因此應分三種情況說明. 從這里可以看出.由于靜摩擦力方向能夠改變.數值也有一定的變動范圍.滑動摩擦力雖有確定數值.但方向則隨相對滑動的方向而改變.因此.討論使物體維持某一狀態所需的外力F的許可范圍和大小是很重要的.何時用等號.何時用不等號.必須十分注意. (3)彈性力作用下的平衡問題 例3 如圖1-3所示.一個重力為的小環套在豎直的半徑為的光滑大圓環上.一勁度系數為k.自然長度為L彈簧的一端固定在小環上.另一端固定在大圓環的最高點A.當小環靜止時.略去彈簧的自重和小環與大圓環間的摩擦.求彈簧與豎直方向之間的夾角 分析 選取小環為研究對象.孤立它進行受力情況分析:小環受重力.大圓環沿半徑方向的支持力N.彈簧對它的拉力F的作用.顯然. 解法1 運用正交分解法.如圖1-4所示.選取坐標系.以小環所在位置為坐標原點.過原點沿水平方向為軸.沿豎直方向為軸. 解得 解法2 用相似比法.若物體在三個力F1.F2.F3作用下處于平衡狀態.這三個力必組成首尾相連的三角形F1.F2.F3.題述中恰有三角形AO與它相似.則必有對應邊成比例. (4)在電場.磁場中的平衡 例4 如圖1-5所示.勻強電場方向向右.勻強磁場方向垂直于紙面向里.一質量為帶電量為q的微粒以速度與磁場垂直.與電場成45˚角射入復合場中.恰能做勻速直線運動.求電場強度E的大小.磁感強度B的大小. 解析 由于帶電粒子所受洛侖茲力與垂直.電場力方向與電場線平行.知粒子必須還受重力才能做勻速直線運動.假設粒子帶負電受電場力水平向左.則它受洛侖茲力就應斜向右下與垂直.這樣粒子不能做勻速直線運動.所以粒子應帶正電.畫出受力分析圖根據合外力為零可得. (1) (2) 由(1)式得.由得 (5)動態收尾平衡問題 例5 如圖1-6所示.AB.CD是兩根足夠長的固定平行金屬導軌.兩導軌間距離為.導軌平面與水平面的夾角為.在整個導軌平面內都有垂直于導軌平面斜向上方的勻強磁場.磁感強度為B.在導軌的A.C端連接一個阻值為R的電阻.一根垂直于導軌放置的金屬棒.質量為.從靜止開始沿導軌下滑.求棒的最大速度.(已知和導軌間的動摩擦因數為.導軌和金屬棒的電阻不計) 解析 本題的研究對象為棒.畫出棒的平面受力圖.如圖1-7.棒所受安培力F沿斜面向上.大小為.則棒下滑的加速度 . 棒由靜止開始下滑.速度不斷增大.安培力F也增大.加速度減小.當=0時達到穩定狀態.此后棒做勻速運動.速度達最大. . 解得棒的最大速度 . 例6 圖1-8是磁流體發電機工作原理圖.磁流體發電機由燃燒室和偏轉磁場(B)組成.在2500K以上的高溫下.燃料與氧化劑在燃燒室混合.燃燒后.電離為正負離子.并以每秒幾百米的高速噴入磁場.在洛侖茲力的作用下.正負離子分別向上.下極板偏轉.兩極板因聚積正負電荷而產生靜電場.這時等離子體同時受到方向相反的洛侖茲力()與電場力(F)的作用.當F=時.離子勻速穿過磁場.兩極板電勢差達到最大值.即為電源的電動勢.設兩板間距為d.板間磁場的磁感強度為B.等離子體速度為.負載電阻為R.電源內阻不計.通道截面是邊長為d的正方形.試求: (1)磁流體發電機的電動勢? (2)發電通道兩端的壓強差? 解析 根據兩板電勢差最大值的條件 所以.磁流發電機的電動勢為 設電源內阻不計.通道橫截面邊長等于的正方形.且入口處壓強為.出口處的壓強為,當開關S閉合后.發電機電功率為 根據能量的轉化和守恒定律有 所以.通道兩端壓強差為 (6)共點的三力平衡的特征規律 例7 圖1-9中重物的質量為.輕細線AO和BO的A.B端是固定的.平衡時AD是水平的.BO與水平的夾角為.AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是: A. B. C. D. 解析 如圖1-10.三根細繩在O點共點.取O點為研究對象.分析O點受力如圖1-10.O點受到AO繩的拉力F1.BO繩的拉力F2以及重物對它的拉力T三個力的作用. 圖1-10(a)選取合成法進行研究.將F1.F2合成.得到合力F.由平衡條件知: 則: 圖1-10(b)選取分解法進行研究.將F2分解成互相垂直的兩個分力..由平衡條件知: 則: 問題:若BO繩的方向不變.則細線AO與BO繩的方向成幾度角時.細線AO的拉力最小? 結論:共點的三力平衡時.若有一個力的大小和方向都不變.另一個力的方向不變.則第三個力一定存在著最小值. (7)動中有靜.靜中有動問題 如圖1-11所示.質量為M的木箱放在水平面上.木箱中的立桿上著一個質量為的小球.開始時小球在桿的頂端.由靜止釋放后.小球沿桿下滑的加速度為重力加速度的二分之一.則在小球下滑的過程中.木箱對地面的壓力為.因為球加速下滑時.桿受向上的摩擦力根據第二定律有.所以.對木箱進行受力分析有:重力.地面支持力N.及球對桿向下的摩擦力.由平衡條件有. 【
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