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1 組合數的性質1:．一般地.從n個不同元素中取出個元素后.剩下個元素．因為從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合.與剩下的n - m個元素的每一個組合一一對應.所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數.等于從這n個元素中取出n - m個元素的組合數.即:．在這里.主要體現:“取法與“剩法是“一一對應的思想證明:∵ 又 .∴ 說明:①規定:, ②等式特點:等式兩邊下標同.上標之和等于下標, ③此性質作用:當時.計算可變為計算.能夠使運算簡化. 例如＝＝=2002, ④或．2．組合數的性質2:＝+．一般地.從這n+1個不同元素中取出m個元素的組合數是.這些組合可以分為兩類:一類含有元素.一類不含有．含有的組合是從這n個元素中取出m -1個元素與組成的.共有個,不含有的組合是從這n個元素中取出m個元素組成的.共有個．根據分類計數原理.可以得到組合數的另一個性質．在這里.主要體現從特殊到一般的歸納思想.“含與不含其元素的分類思想．證明: ∴＝+．說明:①公式特征:下標相同而上標差1的兩個組合數之和.等于下標比原下標多1而上標與大的相同的一個組合數, ②此性質的作用:恒等變形.簡化運算【查看更多】

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、數學教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律．如圖所示是一個11階楊輝三角：

（1）求第20行中從左到右的第4個數；
（2）若第n行中從左到右第14與第15個數的比為

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，求n的值；
（3）在第3斜列中，前5個數依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數為35．顯然，1+3+6+10+15=35．事實上，一般地有這樣的結論：第m斜列中（從右上到左下）前k個數之和，一定等于第m+1斜列中第k個數．試用含有m，k（m，k∈N^*）的數學公式表示上述結論，并給予證明．

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楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、數學教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律．下圖是一個11階楊輝三角：

(1)求第20行中從左到右的第4個數；

(2)若第n行中從左到右第14與第15個數的比為，求n的值；

(3)若n階(包括0階)楊輝三角的所有數的和；

(4)在第3斜列中，前5個數依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數為35．顯然，1＋3＋6＋10＋15＝35．事實上，一般地有這樣的結論：

第m斜列中(從右上到左下)前k個數之和，一定等于第m＋1斜列中第k個數．

試用含有m、k(m，k∈N^*)的數學公式表示上述結論，并給予證明．

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（本題滿分15分）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、數學教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律．下圖是一個11階楊輝三角：

（1）求第20行中從左到右的第3個數；
（2）若第行中從左到右第13與第14個數的比為，求的值；
（3）寫出第行所有數的和，寫出階（包括階）楊輝三角中的所有數的和；
（4）在第3斜列中，前5個數依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數為35，我們發現，事實上，一般地有這樣的結論：第斜列中（從右上到左下）前個數之和，一定等于第斜列中第個數．
試用含有，的數學式子表示上述結論，并證明．