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已知函數g(x)＝ax³＋bx²＋cx(a∈R且a≠0)，g(－1)＝0，且g(x)的導函數f(x)滿足f(0)f(1)≤0.設x₁、x₂為方程f(x)＝0的兩根．

(1)求的取值范圍；

(2)若當|x₁－x₂|最小時，g(x)的極大值比極小值大，求g(x)的解析式．

已知函數g(x)=ax³+bx²+cx(a∈R且a≠0)，g(-1)=0，g(x)的導函數f(x)滿足f(0)f(1)≤0．

    設x₁，x₂為方程f(x)=0的兩根．

    (Ⅰ)求的取值范圍；

    (Ⅱ)若當|x₁-x₂|最小時，g(x)的極大值比極小值大，求g(x)的解析式．

已知定義在實數集上的函數f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其導函數記為f_n′（x），且滿足f2′[x1+a(x2-x1)]=

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，a，x₁，x₂為常數，x₁≠x₂．
（1）試求a的值；
（2）記函數F（x）=b•f₁（x）-lnf₃（x），x∈（0，e]，若F（x）的最小值為6，求實數b的值；
（3）對于（2）中的b，設函數g(x)=(

b

3

)x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數g（x）圖象上兩點，若g′(x0)=

y2-y1

x2-x1

，試判斷x₀，x₁，x₂的大小，并加以證明．

已知函數f(x)的定義域為R，其導數f′(x)滿足0＜f′(x)＜1.設a是方程f(x)＝x的根.

（1）當x＞a時，求證：f(x)＜x；

（2）求證：|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|（x₁，x₂∈R，x₁≠x₂）;

（3）試舉一個定義域為R的函數f(x)，滿足0＜f′(x)＜1，且f′(x)不為常數.