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在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數k，直線(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0恒過定點F．設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為2+

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：x²+y²=r²（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置關系．

在平面直角坐標系xoy中，已知圓C₁：（x+3）²+y²=4和圓C₂：（x-4）²+（y-4）²=4．
（1）若直線l過點A（4，-1），且被圓C₁截得的弦長為2

3

，求直線l的方程；
（2）是否存在一個定點P，使過P點有無數條直線l與圓C₁和圓C₂都相交，且l被兩圓截得的弦長相等，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標系xoy中，如圖，已知橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的左、右頂點為A、B，右焦點為F．設過點T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）設動點P滿足PF²-PB²=4，求點P的軌跡；
（2）設x1=2，x2=

1

3

，求點T的坐標；
（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）．

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）的一條漸近線與直線l：2x-y+1=0垂直，則實數a=．

在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：2

2

x-y+3+8

2

=0和圓C₁：x²+y²+8x+F=0．若直線l被圓C₁截得的弦長為2

3

．
（1）求圓C₁的方程；
（2）設圓C₁和x軸相交于A、B兩點，點P為圓C₁上不同于A、B的任意一點，直線PA、PB交y軸于M、N點．當點P變化時，以MN為直徑的圓C₂是否經過圓C₁內一定點？請證明你的結論；
（3）若△RST的頂點R在直線x=-1上，S、T在圓C₁上，且直線RS過圓心C₁，∠SRT=30°，求點R的縱坐標的范圍．