例1 化簡 解:原式= 或解:原式= 例2 已知.求函數的值域 解: ∵ ∴ ∴ ∴函數y的值域是 例3 已知 . 求的值 解:∵ 即: ∵ ∴ 從而 而 ∴ 例4 已知 求證tana=3tan(a+b) 證:由題設: 即 ∴ ∴tana=3tan(a+b) 例5 已知... 求sin2a的值 解:∵ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴sin2a= = 例6證明A+B+C＝nπ(n∈Z)的充要條件是tanA+tanB+tanC＝tanA·tanB·tanC 選題意圖:考查兩角和與差的正切公式的應用和求角的方法 證明: (n∈Z) 由A+B+C＝nπ即A+B＝nπ-C 得tan(A+B)＝-tanC tanA+tanB+tanC＝tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC ＝-tanC(1-tanAtanB)+tanC ＝tanAtanBtanC 說明:本題可考慮證明A+B＝nπ-C(n∈Z)的充要條件是tanA+tanB+tanC＝tanA·tanB·tanC較為簡單 例7求證:tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°＝1 選題意圖:考查兩角和與差的正切變形公式的應用 證明:左端＝ 說明:可在△ABC中證明 例8已知A.B為銳角.證明的充要條件是(1+tanA)(1+tanB)＝2 選題意圖:考查兩角和與差的正切公式的變換應用和求角的方法 證明: 由(1+tanA)(1+tanB)＝2即1+(tanA+tanB)+tanA·tanB＝2 得tan(A+B)［1-tanAtanB］＝1-tanA·tanB ∴tan(A+B)＝1 又0＜A+B＜π ∴A+B＝ 由 整理得(1+tanA)(1+tanB)＝2 說明:可類似地證明以下命題: (1)若α+β＝.則(1-tanα)(1-tanβ)＝2, (2)若α+β＝.則(1+tanα)(1+tanβ)＝2, (3)若α+β＝.則(1-tanα)(1-tanβ)＝2 【
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