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19．已知函數(a＞0.且a≠1).其中為常數．如果是增函數.且存在零點(為的導函數)． (Ⅰ)求a的值, (Ⅱ)設A(x1.y1).B(x2.y2)(x1<x2)是函數y＝g(x)的圖象上兩點.( 為的導函數).證明:．解:(Ⅰ)因為. 所以． ----------------3分因為h(x)在區間上是增函數. 所以在區間上恒成立．若0<a<1.則lna<0.于是恒成立．又存在正零點.故△＝(-2lna)2-4lna＝0.lna＝0.或lna＝1與lna<0矛盾．所以a>1．由恒成立.又存在正零點.故△＝(-2lna)2-4lna＝0. 所以lna＝1.即a＝e． --------------------------7分 ..于是.．----------9分以下證明． (※) (※)等價于． -----------------11分令r(x)＝xlnx2-xlnx-x2+x.----------------------13分 r ′(x)＝lnx2-lnx.在(0.x2］上.r′(x)>0.所以r(x)在(0.x2］上為增函數．當x1<x2時.r(x1)< r(x2)＝0.即. 從而得到證明．--------------------------15分對于同理可證-----------------------16分所以．評講建議: 此題主要考查函數.導數.對數函數.二次函數等知識．評講時注意著重導數在研究函數中的應用．本題的第一小題是常規題比較容易.第二小題是以數學分析中的中值定理為背景.作輔助函數.利用導數來研究函數的性質.是近幾年高考的熱點．第二小題還可以這樣證明: 要證明.只要證明>1.令.作函數h(x)＝t-1-lnt.下略．【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分16分）已知函數（a＞0，且a≠1），其中為常數．如果是增函數，且存在零點（為的導函數）．

（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函數y＝g（x）的圖象上兩點，（為的導函數），證明：．

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（本小題滿分16分）已知函數f(x)＝x²－(1＋2a)x＋alnx(a為常數)．

（1）當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處切線的方程；

（2）當a＞0時，討論函數y＝f(x)在區間(0，1)上的單調性，并寫出相應的單調區間．

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（本小題滿分16分）已知函數f(x)＝x²－(1＋2a)x＋alnx(a為常數)．
（1）當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處切線的方程；
（2）當a＞0時，討論函數y＝f(x)在區間(0，1)上的單調性，并寫出相應的單調區間．

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（本小題滿分16分）
已知函數＝＋，a≠0且a≠1．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調增區間；
（2）已知當x＞0時，函數在(0，)上單調遞減，在(，上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）記（2）中的函數圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．