已知等差數列{a_n}的各項均為正數，其前n項和為S_n，首項a₁=1．
（Ⅰ）若，求S₅；
（Ⅱ）若數列{a_n}中存在兩兩互異的正整數m、n、p同時滿足下列兩個條件：①m+p=2n；②，求數列的通項a_n；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數列{a_n}，設（n∈N^*），集合T_n={b_i•b_j|1≤i≤j≤n，i，j∈N^*}，記集合T_n中所有元素之和B_n，試問：是否存在正整數n和正整數k，使得不等式成立？若存在，請求出所有n和k的值；若不存在，請說明理由．