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（Ⅰ）求證：

C

m n

=

n

m

C

m-1 n-1

；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結果證明C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）¹+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=

(1+x)[1-(1+x)n]

1-(1+x)

=

(1+x)n+1-(1+x)

x

；，由左邊可求得x²的系數為C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²，利用右式可得x²的系數為C_n+1³，所以C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²=C_n+1³．請利用此方法證明：（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ．

我們常用構造等式對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如由等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ可得，左邊xⁿ的系數為

C

n 2n

，而右邊(1+x)n(1+x)n=(

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn)(

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn)，xⁿ的系數為

C

0 n

C

n n

+

C

1 n

C

n-1 n

+

C

2 n

C

n-2 n

+…+

C

n n

C

0 n

=(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+(

C

2 n

)2+…+(

C

n n

)2，由（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ恒成立，可得(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+(

C

2 n

)2+…+(

C

n n

)2=

C

n 2n

．
利用上述方法，化簡(

C

0 2n

)2-(

C

1 2n

)2+(

C

2 2n

)2-(

C

3 2n

)2+…+(

C

2n 2n

)2=．

我們常用構造等式對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如由等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ可得，左邊xⁿ的系數為

C

n2n

，而右邊(1+x)n(1+x)n=(

C

0n

+

C

1n

x+

C

2n

x2+…+

C

nn

xn)(

C

0n

+

C

1n

x+

C

2n

x2+…+

C

nn

xn)，xⁿ的系數為

C

0n

C

nn

+

C

1n

C

n-1n

+

C

2n

C

n-2n

+…+

C

nn

C

0n

=(

C

0n

)2+(

C

1n

)2+(

C

2n

)2+…+(

C

nn

)2，由（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ恒成立，可得(

C

0n

)2+(

C

1n

)2+(

C

2n

)2+…+(

C

nn

)2=

C

n2n

．
利用上述方法，化簡(

C

02n

)2-(

C

12n

)2+(

C

22n

)2-(

C

32n

)2+…+(

C

2n2n

)2=______．