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P是橢圓上一點，F₁、F₂是橢圓的左、右焦點，|F₁F₂|=2c，過P作直線l：的垂線，垂足為Q，若PQF₁F₂是平行四邊形，則橢圓的離心率取值范圍是_    ．

若 P為橢圓上任意一點，為左、右焦點，

(1)若的中點為M，求證：；

(2)若，求之值；

(3)橢圓上是否存在點P，使，若存在，求出P點的坐標，

若不存在，請說明理由。

 

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點F₁、F₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，且|PF₁|=

1

2

，|F1F2|=2

3

．
（I）求橢圓C的方程．
（II）以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由．

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一點P到兩個焦點的距離的和為6，焦距為4

2

，A，B分別是橢圓的左右頂點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）設C（x，y）（0＜x＜a）為橢圓上一動點，D為C關于y軸的對稱點，四邊形ABCD的面積為S（x），設f(x)=

S2(x)

x+3

，求函數f（x）的最大值．