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如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為2a的正方形，周圍是四個全等的弓形．已知O為正方形的中心，G為AD的中點，點P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點H．設弧AD的長為l，∠APH=θ，θ∈(

π

4

，

3π

4

)．（1）求l關于θ的函數關系式；（2）定義比值

OP

l

為招貼畫的優美系數，當優美系數最大時，招貼畫最優美．證明：當角θ滿足：θ=tan(θ-

π

4

)時，招貼畫最優美．

已知復數z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，|z₁-z₂|=1．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，且sinβ=-

3

5

，求sinα的值．

已知復數z滿足

1+2i

z

=1-2i，則復數z=．

某網店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監測統計發現，第x天（1≤x≤20，x∈N）的銷售價格（單位：元）為p=

44+x，1≤x≤6 56-x，6＜x≤20

，第x天的銷售量為q=

48-x，1≤x≤8 32+x，8＜x≤20

，已知該商品成本為每件25元．
（Ⅰ）寫出銷售額t關于第x天的函數關系式；
（Ⅱ）求該商品第7天的利潤；
（Ⅲ）該商品第幾天的利潤最大？并求出最大利潤．