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已知橢圓長軸長與短軸長之差是，且右焦點F到此橢圓一個短軸端點的距離為，點是線段上的一個動點（為坐標原點）.

（I）求橢圓的方程;

(Ⅱ)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點,

使得,并說明理由. 

【注：當直線BA的斜率存在且為時，的方向向量可表示為】

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，

又因為,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得

由此知道a=2,  設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，

又因為,又………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,

設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為