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已知過點A（0，4）的直線l與以F為焦點的拋物線C：x²=py相切于點T（-4，y_o）；中心在坐標原點，一個焦點為F的橢圓與直線l有公共點．
（1）求直線l的方程和焦點F的坐標；
（2）求當橢圓的離心率最大時橢圓的方程；
（3）設點M（x₁，y_l）是拋物線C上任意一點，D（0，-2）為定點，是否存在垂直于y軸的直線l′被以MD為直徑的圓截得的弦長為定值？請說明理由．

如圖，已知動直線l經過點P（4，0），交拋物線y²=2ax（a＞0）于A，B兩點，坐標原點O是PQ的中點，設直線AQ，BQ的斜率分別為k₁，k₂．
（1）證明：k₁+k₂=0；
（2）當a=2時，是否存在垂直于x軸的直線l′，被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，請求出直線l′的方程；若不存在，請說明理由．