設f（x）是定義在D上的函數，若對任何實數α∈（0，1）以及x₁、x₂∈D恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）成立，則稱f（x）為定義在D上的下凸函數．
（1）試判斷函數g（x）=2x（x∈R），是否為各自定義域上的下凸函數，并說明理由；
（2）若h（x）=px²（x∈R）是下凸函數，求實數p的取值范圍；
（3）已知f（x）是R上的下凸函數，m是給定的正整數，設f（0）=0，f（m）=2m，記S_f=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），對于滿足條件的任意函數f（x），試求S_f的最大值．

（09年海淀區期中文）（14分）

       設是定義在D上的函數，若對D中的任意兩個實數，恒有，則稱為定義在D上的T函數。

   （I）試判斷函數是否為其定義域上的T函數， 并說明理由；

   （II）若函數是R上的奇函數，試證明不是R上的T函數；

   （III）若對任何實數以及D中的任意兩個實數恒有

（09年海淀區期中理）（14分） 

設是定義在區間D上的函數，若對任何實數以及D中的任意兩數，恒有，則稱為定義在D上的C函數.

   （Ⅰ）試判斷函數，是否為各自定義域上的C函數，并說明理由；

   （Ⅱ）已知是R上的C函數，m是給定的正整數，設，且，記. 對于滿足條件的任意函數，試求的最大值；

   （Ⅲ）若是定義域為R的函數，且最小正周期為，試證明不是R上的C函數.