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設x₁，x₂∈R，常數a＞0，定義運算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²．
（1）若x≥0，求動點的軌跡C的方程；
（2）若a=2，不過原點的直線l與x軸、y軸的交點分別為T，S，并且與（1）中的軌跡C交于不同的兩點P，Q，試求的取值范圍；
（3）設P（x，y）是平面上的任意一點，定義=．若在（1）中的軌跡C存在不同的兩點A₁，A₂，使得d₁（A_i）=成立，求實數a的取值范圍．

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已知點P（x，y）是漸近線為2x±3y=0且經過定點（6，2）的雙曲線C₁上的一動點，點Q是P關于雙曲線C₁實軸A₁A₂的對稱點，設直線PA₁與QA₂的交點為M（x，y），
（1）求雙曲線C₁的方程；
（2）求動點M的軌跡C₂的方程；
（3）已知x軸上一定點N（1，0），過N點斜率不為0的直線L交C₂于A、B兩點，x軸上是否存在定點 K（x，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出點K的坐標；若不存在，說明理由．

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一、選擇題：（每小題5分，共50分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

D

D

A

B

C

C

D

二、填空題：（每小題5分，共30分）

11. ； 12. ；  13. ； 14. 2或；  15. ；  16.  9.

三、解答題：（5大題，共70分）

17.（1）由，得------------3分

為銳角，， -------5分

                                   --------------------------6分

（2） ---8分

又，，得，       --------------------------10分

          --------------------------12分

（若通過得出，求出，

未舍去，得兩解，扣2分.）

18.（1）設點，由得，，

由，得，         ------------------------4分

即.                              ---------------------6分

（2）由(1)知為拋物線：的焦點，為過焦點的直線與的兩個交點.

①當直線斜率不存在時，得，，.      ----8分

②當直線斜率存在且不為0時，設，代入得

.設，

則，得，    ----12分

（或）

，此時，由得

。                                 ---------------14分

19.解法一：

（1）在中，，，

∴，取中點，

， ，

在中，，，又均為銳角，∴，                             ---------------2分

，又外， .      ---------------4分

（２）∵平面平面，∴，過作于，連結，則，

為二面角的平面角，               ------------------------6分

易知=，∴，

二面角的大小為.          ------------------------9分

（其它等價答案給同樣的得分）

（３），點到平面的距離，就是到平面的距離，-------------------------------11分

過作于，則，的長度即為所求， 由上 （或用等體積求）----------------------------------14分

解法二：

如圖，建立圖示空間直角坐標系.

則，，，，.

（1）

（2）利用，其中分別為兩個半平面的法向量，

或利用求解.

    （3）利用，其中為平面的法向量。

20.（1），∴    ①

又，∴，即    ②

由①②得，.又時，①、②不成立，故.------2分

∴，設x₁、x₂是函數的兩個極值點，則x₁、x₂是方程=0的兩個根，，

∴x₁+x₂=，又∵ A、O、B三點共線， =，

∴=0，又∵x₁≠x₂，∴b= x₁+x₂=，∴b=0. ----------------6分

（2）時，，                          -----------------------7分

由得，可知在上單調遞增，在

上單調遞減， .  ---------------------9分

①由得的值為1或2.（∵為正整數）   -----------------11分

②時，記在上切線斜率為2的切點的橫坐標為，

則由得，依題意得，

得與矛盾.

（或構造函數在上恒正）

綜上，所求的值為1或2.                           -----------------------14分

21.（1）∵為正數，  ①，=1，∴>0（n∈N*），……… 1分

  又 ②，①―②兩式相減得，

  ∴與同號，                            ---------------------4分

  ∴對n∈N*恒成立的充要條件是>0.         ---------------------7分

  由=>0，得>7　.                        ---------------------8分

（2）證法1：假設存在，使得對任意正整數都有　.

則，則>17　.                                   --------------------9分

另一方面，==，---------11分

∴，，……，，

∴，∴=， ①

--------------------------------14分

當m>16時，由①知，，不可能使對任意正整數n恒成立，

--------------------------------15分

∴m≤16，這與>17矛盾，故不存在m，使得對任意正整數n都有　.

--------------------------------16分

（2）證法2：假設存在m，使得對任意正整數n都有　.

則，則>17　.                                 --------------------9分

另一方面，，       ------------------11分

∴，，……，，

∴，           ①            -----------------14分

當m>16時，由①知，，不可能使對任意正整數恒成立，

--------------------------15分

∴m≤16，這與>17矛盾，故不存在m，使得對任意正整數n都有　。                               -----------------------------16分