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從4名男生,3名女生中選出三名代表。

(1)不同的選法共有多少種?

(2)至少有一名女生的不同的選法共有多少種?

(3)代表中男、女生都要有的不同的選法共有多少種?

【解析】本試題主要考查了排列組合的運用，第一問中利用從7名學生中選出三名代表，共有選法 種；第二問中，至少有一名女生的不同選法共有 種第三問中，可以運用間接法得到男、女生都要有的不同的選法共有 種。

 

在m（m≥2）個不同數的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m時P_i＞P_j（即前面某數大于后面某數），則稱P_i與P_j構成一個逆序．一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數．記排列（n+1）n（n-1）…321的逆序數為a_n，如排列21的逆序數a₁=1，排列321的逆序數a₃=6．
（Ⅰ）求a₄、a₅，并寫出a_n的表達式；
（Ⅱ）令bn=

an

an+1

+

an+1

an

，證明2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，…．

現有m（m≥2）個不同的數P₁、P₂、P₃、…、P_n．將他們按一定順序排列成一列．對于其中的兩項P_i和P_j，若滿足：1≤i＜j≤m且P_i＞P_j（即前面某數大于后面某數），則稱P_i與P_j構成一個逆序．一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數．記排列（n+1）、n、（n-1）、…3、2、1的逆序數為a_n．如排列2、1的逆序數a₁=1，排列3、2、1的逆序數a₂=3．
（1）求a₃、a₄、a₅；
（2）求a_n的表達式；
（3）令bn=

an

an+1

+

an+1

an

，證明b₁+b₂+…b_n＜2n+3，n=1，2，…．