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橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點．
（1）如果點A在圓x²+y²=c²（c為橢圓的半焦距）上，且|F₁A|=c，求橢圓的離心率；
（2）若函數，（m＞0且m≠1）的圖象，無論m為何值時恒過定點（b，a），求的取值范圍．

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橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點．
（1）如果點A在圓x²+y²=c²（c為橢圓的半焦距）上，且|F₁A|=c，求橢圓的離心率；
（2）若函數，（m＞0且m≠1）的圖象，無論m為何值時恒過定點（b，a），求的取值范圍．

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橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點．
（1）如果點A在圓x²+y²=c²（c為橢圓的半焦距）上，且|F₁A|=c，求橢圓的離心率；
（2）若函數，（m＞0且m≠1）的圖象，無論m為何值時恒過定點（b，a），求的取值范圍．

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橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點．
（1）如果點A在圓x²+y²=c²（c為橢圓的半焦距）上，且|F₁A|=c，求橢圓的離心率；
（2）若函數，（m＞0且m≠1）的圖象，無論m為何值時恒過定點（b，a），求的取值范圍．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

A

B

A

C

A

C

D

D

B

C

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．

13．   14．   15．   16．（－1，0）

三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．解：（1）

                                                ………………3分

       又題意可得            ………………4分

       當=1時，有最大值為2，

                                      ………………6分

   （2）  ……7分

                                        …………………8分

                                   …………………9分

       由余弦定理得：a²=16+25－2×4×5cos=21           …………12分

18．解:（1） 抽取的全部結果所構成的基本事件空間為：

Ω={(-2,-2),(-2,3),(-1,-2),(-1,3),(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3)}

共10個基本事件                                              ………………2分

設使函數為增函數的事件空間為A:

則A={(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3)}有6個基本事件   ………………4分

所以,                                          …………………6分

   （2） m、n滿足條件m+n-1≤0    -1≤m≤1  -1≤n≤1的區域如圖所示：

使函數圖像過一、二、三象限的（m，n）為區域為第一象限的陰影部分

∴所求事件的概率為       ………………12分                         

19．解：（1）．連，四邊形菱形  

，

                       ……………2分

  為的中點，

又  ，……………4分

     ………6分

（2）．當時，使得   …………7分

連交于，交于，則為 的中點，

又為邊上中線，為正三角形的中心，令菱形的邊長為，則，。

             ……………………10分

   即：   。      ………………12分

20．解：（1）  是等差數列，  …………………1分

       從第二項開始是等比數列，  ………………6分

   （2）                           ………………7分

              ………………10分

       錯位相減并整理得                  ………………12分

21．解：（1）∵點A在圓，

          …………3分

       由橢圓的定義知：|AF₁|+|AF₂|=2a，

                 ……………5分

   （2）∵函數

       點F₁（－1，0），F₂（1，0），                             ………………6分

       ①若，

            ……………7分

       ②若AB與x軸不垂直，設直線AB的斜率為k，則AB的方程為y=k（x+1）

       由…（*）

       方程（*）有兩個不同的實根.

       設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程（*）的兩個根

                            ………………9分

        ……10分

       由①②知                        ………………12分

22．解：（1）設與在公共點處的切線相同

                               …………………2分

由題意知     ，∴ ……4分

由得，，或（舍去）                                       

即有                           …………………6分

（2）設與在公共點處的切線相同

由題意知       ，∴

由得，，或（舍去）      ………………9分

即有               ……………10分

令，則，于是

當，即時，；

當，即時，                 …………………13分

故在的最大值為，故的最大值為 ………………14分