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某學生在觀察正整數的前n項平方和公式即1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

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，n∈N^*時發現它的和為關于n的三次函數，于是他猜想：是否存在常數a，b，1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)(n+2)(an+b)

12

．對于一切n∈N^*都立？
（1）若n=1，2 時猜想成立，求實數a，b的值．
（2）若該同學的猜想成立，請你用數學歸納法證明．若不成立，說明理由．

已知函數f（x）=kx，（k≠0）且滿足f（x+1）•f（x）=x²+x，函數g（x）=a^x，（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）為R上的增函數，h(x)=

f(x)+1

f(x)-1

(f(x)≠1)，問是否存在實數m使得h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）已知關于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x）恰有一實數解為x₀，且x0∈(

1

4

，

1

2

)求實數a的取值范圍．

若定義在R上的函數f（x）同時滿足下列三個條件：
①對任意實數a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立；
②f(4)=

1

4

；
③當x＞0時，都有f（x）＞0成立．
（1）求f（0），f（8）的值；
（2）求證：f（x）為R上的增函數；
（3）求解關于x的不等式f(x-3)-f(3x-5)≤

1

2

．