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在函數的圖象上有、、三點，橫坐標分別為其中．

⑴求的面積的表達式；

⑵求的值域．

【解析】由題意利用分割可先表示三角形ABC的面積，然后應用對數運算性質及二次函數的性質求解函數的最大值，屬于知識的簡單綜合.

甲船由島出發向北偏東的方向作勻速直線航行，速度為海里∕小時，在甲船從島出發的同時，乙船從島正南海里處的島出發，朝北偏東的方向作勻速直線航行，速度為海里∕小時。

⑴求出發小時時兩船相距多少海里？

⑴   兩船出發后多長時間相距最近？最近距離為多少海里？

【解析】第一問中根據時間得到出發小時時兩船相距的海里為

第二問設時間為t，則

利用二次函數求得最值，

解：⑴依題意有：兩船相距

答：出發3小時時兩船相距海里                           

⑵兩船出發后t小時時相距最近，即

即當t=4時兩船最近，最近距離為海里。

某上市股票在30天內每股的交易價格（元）與時間（天）所組成的有序數對落在下圖中的兩條線段上，該股票在30天內的日交易量（萬股）與時間（天）的部分數據如下表所示．

⑴根據提供的圖象，寫出該種股票每股交易價格（元）與時間（天）所滿足的函數關系式；

⑵根據表中數據確定日交易量（萬股）與時間（天）的一次函數關系式；

⑶在（2）的結論下，用（萬元）表示該股票日交易額，寫出關于的函數關系式，并求這30天中第幾天日交易額最大，最大值為多少？

【解析】（1）根據圖象可知此函數為分段函數，在（0，20]和（20，30]兩個區間利用待定系數法分別求出一次函數關系式聯立可得P的解析式；

（2）因為Q與t成一次函數關系，根據表格中的數據，取出兩組即可確定出Q的解析式；

（3）根據股票日交易額=交易量×每股較易價格可知y=PQ，可得y的解析式，分別在各段上利用二次函數求最值的方法求出即可．

已知冪函數滿足。

（1）求實數k的值，并寫出相應的函數的解析式；

（2）對于（1）中的函數，試判斷是否存在正數m，使函數，在區間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

【解析】本試題主要考查了函數的解析式的求解和函數的最值的運用。第一問中利用，冪函數滿足，得到

因為，所以k=0，或k=1，故解析式為

（2）由（1）知，，，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，結合二次函數的對稱軸，和開口求解最大值為5.，得到

（1）對于冪函數滿足，

因此，解得，………………3分

因為，所以k=0，或k=1，當k=0時，，

當k=1時，，綜上所述，k的值為0或1，�！�……………6分

（2）函數，………………7分

由此要求，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，

當時，，因為在區間上的最大值為5，

所以，或…………………………………………10分

解得滿足題意

已知二次函數的二次項系數為，且不等式的解集為,

（1）若方程有兩個相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值為正數，求的取值范圍．

【解析】第一問中利用∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),

設出二次函數的解析式，然后利用判別式得到a的值。

第二問中，

解：（1）∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),

   ①

由方程

              ②

∵方程②有兩個相等的根，

∴，

即5a²-4a-1=0,解得a=1(舍) 或 a=-1/5

a=-1/5代入①得：

（2）由

由 解得：

故當f(x)的最大值為正數時，實數a的取值范圍是