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（本題滿分16分）在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．

   （1）求圓的方程；

   （2）試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.

1．第二象限  2． 3   3．Π   4．   5． __ 6． 2  7．

8．   9． 10  10.向右平移  11． 3.5  12.①④   13.  14.①③

二、解答題：本大題共6小題，計90分.

15．解：（1）．

又，，即，

．

（2），，

且，

，即的取值范圍是．

16．（Ⅰ）證明:連結AF,在矩形ABCD中,因為AD=4,AB=2,點F是BC的中點,所以∠AFB=∠DFC=45°.所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.  

所以FD⊥平面PAF.  故PF⊥FD. 

（Ⅱ）過E作EH//FD交AD于H,則EH//平面PFD,且 AH=AD.  再過H作HG//PD交PA于G,則GH//平面PFD,且 AG=PA.  所以平面EHG//平面PFD,則EG//平面PFD,從而點G滿足AG=PA. 

17．解：（1）由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半

徑，則M在∠BOA的平分線上，

    同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N

三點共線，且OMN為∠BOA的平分線，

∵M的坐標為，∴M到軸的距離為1，即

⊙M的半徑為1，

則⊙M的方程為，

  設⊙N的半徑為，其與軸的的切點為C，連接MA、MC，

  由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即，

  則OC=，則⊙N的方程為；

（2）由對稱性可知，所求的弦長等于過A點直線MN的平行線被⊙截得的弦

的長度，此弦的方程是，即：，

圓心N到該直線的距離d=，則弦長=．

另解：求得B（），再得過B與MN平行的直線方程，圓心N到該直線的距離=，則弦長=．

（也可以直接求A點或B點到直線MN的距離，進而求得弦長）

18．解（1）由題意的中垂線方程分別為，

于是圓心坐標為…………………………………4分

=＞，即   ＞即＞所以＞ ，

于是＞ 即＞ ，所以＜  即 ＜＜………………8分

（2）假設相切， 則，……………………………………………………10分

，………13分這與＜＜矛盾.

故直線不能與圓相切. ………………………………………………16分

19．解（Ⅰ）∵，

         ∴                               

∴，∴，令，得，列表如下：

2

0

遞減

極小值

遞增

∴在處取得極小值，

即的最小值為．              

，∵，∴，又，∴．                                        

（Ⅱ）證明由（Ⅰ）知，的最小值是正數，∴對一切，恒有從而當時，恒有，故在上是增函數．

（Ⅲ）證明由（Ⅱ）知：在上是增函數，

     ∴當時，，   又，                     

∴，即，∴

故當時，恒有．

20．解：（1）數列{a_n}的前n項和，

…2分

又，    …………4分

是正項等比數列，，  …………6分

公比，數列         …………8分

（2）解法一：，

由              …………11分

，當，       …………13分

又故存在正整數M，使得對一切M的最小值為2.…16分

（2）解法二：令，11分

由，

函數……13分

對于

故存在正整數M，使得對一切恒成立，M的最小值為2.……16分