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已知函數f（x）=

a-x2

x

+lnx  (a∈R ， x∈[

1

2

 ， 2])
（1）當a∈[-2，

1

4

)時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x²，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

已知函數f(x)=

a+sinx

2+cosx

-bx（a、b∈R），
（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為2680，試求a和b的值；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數：
（1）是否存在實數b，使得f（x）在(0，

2π

3

)為增函數，(

2π

3

，π)為減函數，若存在，求出b的值，若不存在，請說明理由；
（2）如果當x≥0時，都有f（x）≤0恒成立，試求b的取值范圍．

已知函數f（x）=x²，g（x）=2elnx（x＞0）（e為自然對數的底數）．
（1）當x＞0時，求證：f′（x）+g′（x）≥4

e

；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的單調區間及最小值；
（3）試探究是否存在一次函數y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b對一切x＞0恒成立，若存在，求出該一次函數的表達式；若不存在，請說明理由．

已知函數f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．
（Ⅰ）若y=f（x）在[-1，1]上存在零點，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=0時，若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數y=f（x）（x∈[t，4]）的值域為區間D，是否存在常數t，使區間D的長度為7-2t？若存在，求出所有t的值；若不存在，請說明理由（注：區間[p，q]的長度為q-p）．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為

2

2

，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．