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如圖，已知拋物線C的頂點在原點O，焦點為F(0，1)．

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(Ⅱ)在拋物線C上是否存在點P，使得過點P的直線交拋物線C于另一點Q，滿足PF⊥QP，且PQ與拋物線C在點P處的切線垂直？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題：（每小題5分，共50分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

A

C

C

D

A

A

B

二、填空題：（每小題4分，共24分）

11．；  12．；   13．；    14．；   15．4    16．120

三、解答題：（共76分，以下各題為累計得分，其他解法請相應給分）

17．解：（I）

        由，得。

        又當時，得

       （Ⅱ）當

        即時函數遞增。

        故的單調增區間為，

        又由，得，

        由

        解得

        故使成立的的集合是

18．解：（I）設袋中有白球個，由題意得，

        即

        解得或（舍），故有白球6個

       （法二，設黑球有個，則全是黑球的概率為   由

        即，解得或（舍），故有黑球4個，白球6個

       （Ⅱ），

0

1

2

3

P

       故分布列為

       數學期望

19．解：（I）取AB的中點O，連接OP，OC         PA=PB   POAB

       又在中，，

       在中，，又，故有

          又，面ABC

       又PO面PAB，面PAB面ABC

      （Ⅱ）以O為坐標原點， 分別以OB，OC，OP為軸，軸，軸建立坐標系，

如圖，則A

       設平面PAC的一個法向量為。

            得

       令，則

       設直線PB與平面PAC所成角為

       于是

20．解：（I）由題意設C的方程為由，得。

       設直線的方程為，由

       ②代入①化簡整理得  

       因直線與拋物線C相交于不同的兩點，

       故

       即，解得又時僅交一點，

      （Ⅱ）設，由由（I）知

21．解：（I）當時，

       設曲線與在公共點（）處的切線相同，則有

       即    解得或（舍）

       又故得公共點為，

       切線方程為   ，即

      （Ⅱ），設在（）處切線相同，

       故有

       即

       由①，得（舍）

       于是

       令，則

       于是當即時，，故在上遞增。

       當，即時，，故在上遞減

       在處取最大值。

       當時，b取得最大值

22．解：（I）的對稱軸為，又當時，，

       故在[0，1]上是增函數

       即

     （Ⅱ）

       由

       得

       ①―②得   即

       當時，，當時，

       于是

       設存在正整數，使對，恒成立。

       當時，，即

       當時，

       。

       當時，，當時，，當時，

       存在正整數或8，對于任意正整數都有成立。

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