題目列表(包括答案和解析)
（12分）已知拋物線C的頂點在坐標原點O，準線方程是
，過點
的直線
與拋物線C相交于不同的兩點A，B
（I）求拋物線C的方程及直線的斜率
的取值范圍；
（Ⅱ）求
（用表示）
| AB |
已知雙曲線C的中心在坐標原點O，兩條準線的距離為
，其中一個焦點恰與拋物線x 2 + 10 x 4 y + 21 = 0的焦點重合。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若P為C上任意一點，A為雙曲線的右頂點，通過P、O的直線與從A所引平行于漸近線的直線分別交于Q、R。試證明：| OP |是| OQ |與| OR |的等比中項。
如圖，已知拋物線C的頂點在原點O，焦點為F(0，1)．
(Ⅰ)求拋物線C的方程；
(Ⅱ)在拋物線C上是否存在點P，使得過點P的直線交拋物線C于另一點Q，滿足PF⊥QP，且PQ與拋物線C在點P處的切線垂直？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| a2+b2 |
一、選擇題：（每小題5分，共50分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
C
C
C
A
A
B
二、填空題：（每小題4分，共24分）
11．
12．4 13．
14．
15．4 16．
三、解答題：（共76分，以下各題為累計得分，其他解答請相應給分）
17．解：（I）
由
，得
。
又當
時
，得
（Ⅱ）當
即
時函數遞增。
故
的單調增區間為
，
18．解：（I）各取1個球的結果有（紅，紅1）（紅，紅2）（紅，白1）（紅，白2）（紅，黑）
（白，紅2）（白，紅2）（白，白1）（白，白2）（白，黑）（白，紅1）（白，紅2）
（白，白1）（白，白2）（白，黑）（黑1，紅1）（黑1，紅2）（黑1，白1）（黑1，白2）（黑1，黑）（黑2，紅1）（黑2，紅2）（黑2，白1）（黑2，白2）（黑2，黑）（黑3，紅1）
（黑3，紅2）（黑3，白1）（黑3，白2）（黑3，黑）
等30種情況
其中恰有1白1黑有（白，黑）…（黑3，白2）8種情況，
故1白1黑的概率為
（Ⅱ）2紅有2種，2白有4種，2黑有3種，
故兩球顏色相同的概率為
（Ⅲ）1紅有1×3+2×5=13（種），2紅有2種，
故至少有1個紅球的概率為
19．解：（I）側視圖
（高4，底2
）
（Ⅱ）證明，由
面ABC得AC，又由俯視圖知AB
AC，
，
面PAB
又AC
面PAC，
面PAC面PAB
（Ⅲ）
面ABC，
為直線PC與底面ABC所成的角
在
中，PA=4，AC=
，
，
20．解：（I）由題意設C的方程為
由
，得
。
設直線
的方程為
，由
②代入①化簡整理得 
因直線與拋物線C相交于不同的兩點，
故
即
，解得
又
時僅交一點，
（Ⅱ）設
，由由（I）知
21．解：（I）
由
得
于是
故
切線方程為
，即
（Ⅱ）令
，解得
①當
時，即
時，在
內，
，于是在[1，4]內為增函數。從而
②當
，即
，在
內，
，于是在[1，4]內為減函數，從而
③當
時，在
內遞減，在
內遞增，故在[1，4]上的最大值為
與
的較大者。
由
，得
，故當
時，
當
時，
22．解：（I）設
的首項為
，公差為d，于是由
解得
（Ⅱ）
由
①
得
②
①―②得
即
當
時，
，當
時，
于是
設存在正整數
，使對
恒成立
當時，
，即
當時，
當
時，
當
時，
，當
時，
存在正整數
或8，對于任意正整數
都有
成立。
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