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設是定義在上的函數，若存在，使得在上單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函數，為峰點，包含峰點的區間為含峰區間.　　對任意的上的單峰函數，下面研究縮短其含峰區間長度的方法.

  （1）證明：對任意的，，若，則為含峰區間；若，則為含峰區間；

  （2）對給定的，證明：存在，滿足，使得由（1）所確定的含峰區間的長度不大于；

設是定義在上的函數，若存在，使得在上單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函數，為峰點，包含峰點的區間為含峰區間.　　對任意的上的單峰函數，下面研究縮短其含峰區間長度的方法.

（1）證明：對任意的，，若，則為含峰區間；若，則為含峰區間；

（2）對給定的，證明：存在，滿足，使得由（1）所確定的含峰區間的長度不大于；

已知定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，使得成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.
下面我們來考慮兩個函數：，.
（Ⅰ）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；
（Ⅱ）若，函數在上的上界是，求的取值范圍；
（Ⅲ）若函數在上是以為上界的有界函數， 求實數的取值范圍．