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如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，…是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）．

（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；

（2）求證：（）；

（3）設，對所有，恒成立，求實數的取值范圍．

【解析】第一問利用有，得到

第二問證明：①當時，可求得，命題成立；②假設當時，命題成立，即有則當時，由歸納假設及，

得

第三問 

．………………………2分

因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當時，可求得，命題成立； ……………2分

②假設當時，命題成立，即有，……………………1分

則當時，由歸納假設及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當時，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，