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在數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}前n項和，a₁=1，當n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n
（I）求證：數列是等差數列；
（II）設求數列{b_n}的前n項和T_n；
（III）是否存在自然數m，使得對任意自然數n∈N^*，都有成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．

在數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}前n項和，a₁=1，當n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n
（I）求證：數列是等差數列；
（II）設求數列{b_n}的前n項和T_n；
（III）是否存在自然數m，使得對任意自然數n∈N^*，都有成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．

已知a，b為常數，且a≠0，函數f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對數的底數）．
（I）求實數b的值；
（II）求函數f（x）的單調區間；
（III）當a=1時，是否同時存在實數m和M（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[

1

e

，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數m和最大的實數M；若不存在，說明理由．