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對于給定的定義域中的x1.令 20090508 【查看更多】

給出下列四個判斷：
①定義在R上的奇函數f（x），當x＞0時f（x）=x²+2，則函數f（x）的值域為{y|y≥2或y≤-2}；
②若不等式x³+x²+a＜0對一切x∈[0，2]恒成立，則實數a的取值范圍是{a|a＜-12}；
③當f（x）=log₃x時，對于函數f（x）定義域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
④設g（x）表示不超過t＞0的最大整數，如：[2]=2，[1.25]=1，對于給定的n∈N⁺，定義

C

x

n

=

n(n-1)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

，x∈[1，+∞），則當x∈[

3

2

，2）時函數

C

x

8

的值域是(4，

16

3

]；
上述判斷中正確的結論的序號是

②④

．

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（2012•盧灣區一模）已知函數f（x）=

x+1-t

t-x

（t為常數）．
（1）當t=1時，在圖中的直角坐標系內作出函數y=f（x）的大致圖象，并指出該函數所具備的基本性質中的兩個（只需寫兩個）．
（2）設a_n=f（n）（n∈N^*），當t＞10，且t∉N^*時，試判斷數列{a_n}的單調性并由此寫出該數列中最大項和最小項（可用[t]來表示不超過t的最大整數）．
（3）利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述構造過程中，若x_i（i∈N^*）在定義域中，則構造數列的過程繼續下去；若x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止．若取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，求實數t的值．

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已知函數f（x）=

1

a-x

-1（其中a為常數，x≠a）．利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：
對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述構造過程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續下去；如果x_i不在定義域中，那么構造數列的過程就停止．
（Ⅰ）當a=1且x₁=-1時，求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實數a，使得取定義域中的任一實數值作為x₁，都可用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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給出函數封閉的定義：若對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數值f（x₀）∈D，稱函數y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷函數g（x）=2x-1是否在D₁上封閉，并說明理由；
（2）若定義域D₂=（1，5]，是否存在實數a，使得函數f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封閉？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）利用（2）中函數，構造一個數列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構造數列的過程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定義域中，構造數列的過程將繼續下去；如果x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個無窮常數列{x_n}，求實數a的取值范圍．
②如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，求實數a的取值范圍．

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（2006•石景山區一模）已知函數y=f（x）對于任意θ≠

kπ

2

（k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a為常數）．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數y=f（x）構造一個數列，方法如下：
對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構造過程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續下去；如果x_i不在定義域中，那么構造數列的過程就停止．
（ⅰ）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求a的取值范圍；
（ⅱ）是否存在一個實數a，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（ⅲ）當a=1時，若x₁=-1，求數列{x_n}的通項公式．

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一、選擇題

1―8 DAACA CBD

二、填空題

9． 10． 11． 12． 13．50 14．5

三、解答題

15．（本小題滿分13分）

解：（1）由………………2分

整理得

即……………………3分

又……………………5分

又因為，

所以…………………………6分

（2）因為，所以

故…………………………7分

由

即，

所以.

即.……………………11分

因為……………………12分

故

所以……………………13分

16．（本小題滿分13分）

解：（1）取AC的中點O，連結OS，OB。

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO，AC⊥OB。又平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC=BC，

∴SO⊥平面ABC。

故SB在平面ABC內的射影為OB。

∴AC⊥SB.……………………6分

（2）取OB的中點D，作NE⊥CM交GM于E，連結DE，ND。

在△SOB中，N、D分別為SB，OB的中點，

∴DN//SO，又SO⊥平面ABC，

∴DN⊥平面ABC，由NE⊥CM得DE⊥CM。

故∠NED為二面角N―CM―B的平面角，………………9分

設OB與CM交于G，則G為△ABC的中心

∴DE⊥CM，BM⊥CM，

∴

在△SAC中可得，

在△SOB中，ND=

在Rt△NDE中，

∴.

∴二面角N―CM―B的大小為……………………14分

解法二：（1）取AC的中點O，連結OS，OB。

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO，AC⊥OB。

又平面SAC⊥平面ABC，

∴SO⊥平面ABC。

如圖建系為O―xyz。

則A（2，0，0），B（0，2）

C（―2，0，0），S（0，0，），

M（1，），N（），

則

∴AC⊥SB.……………………6分

（2）由（1）得

設

為平面ABC的法向量，

∴

∴二面角N-CM-B的大小為……………………………………………14分

17．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）由題意C，A₁，A₂，A₃四點構成一個正三棱錐，CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐

的三條側棱，………………………………………………………………2分

三棱錐的側棱……………………………………4分

于是有（0<x<2）……………………………5分

（Ⅱ）對y求導得……………………………………8分

令=0得解得或（舍），……10分

當

故當時，即BC=1.5m時，y取得最小值為6m。………………………13分

18．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）記“恰好射擊5次引爆油罐”的事件為事件A，

則……………………………………4分

（Ⅱ）射擊次數的可能取值為2，3，4，5。…………………………………5分

=；

=。……………………………………11分

故的分布列為

2

3

4

5

P

……………………………………………………………………………12分

E=2×+3×+4×+5×=

故所求的數學期望為………………………………………………13分

19．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）由于四邊形OFPM是菱形，故

作雙曲線的右準線交PM于點H。

則…………………………………………………3分

所以離心率

整理得解得或（舍）。

故所求雙曲線的離心率為2。……………………………………………5分

（Ⅱ）由得，又故。

雙曲線方程為。

設P的橫坐標為，由得即=a

將其帶入雙曲線方程

解得即 7分

，故直線AB的方程為 8分

將直線AB方程代入雙曲線方程 10分

由得

解得，則

所求雙曲線方程為 13分

20．（本小題滿分14分）

解：（1）當時，，所以

兩邊取倒數，得，即=-1，又

所以數列是首項為―1，公差d= ―1的等差數列………………3分

故，

所以

即數列的通項公式為……………………4分

（2）根據題意，只需當時，方程有解，………………5分

即方程有不等式a的解

將x=a代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等。

故方程不可能有解x=a。……………………7分

由，得.

即實數a的取值范圍是……………………10分

（3）假設存在實數a，使處取定義域中的任一實數值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{}，

那么根據題意可知，中無解，……………………12分

即當無實數解.

由于的解。

所以對任意無實數解，

因此,

故a= ―1即為所求a的值…………………………14分

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