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（2009•普陀區二模）已知等軸雙曲線C：x²-y²=a²（a＞0）的右焦點為F，O為坐標原點． 過F作一條漸近線的垂線FP且垂足為P，|

OP

| =

2

．
（1）求等軸雙曲線C的方程；
（2）假設過點F且方向向量為

d

=(1，2)的直線l交雙曲線C于A、B兩點，求

OA

•

OB

的值；
（3）假設過點F的動直線l與雙曲線C交于M、N兩點，試問：在x軸上是否存在定點P，使得

PM

•

PN

為常數．若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．