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（09年揚州中學2月月考）（16分）已知函數，

（1）已知函數，如果是增函數，且的導函數存在正零點，求的值

（2）設,且在上單調遞增,求實數的取值范圍.

（3）試求實數的個數，使得對于每個，關于x的方程 都有滿足的偶數根

已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為d，為其前n項和，且滿足,．數列滿足,，為數列的前n項和．

（1）求數列的通項公式和數列的前n項和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

第二問，①當n為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

第三問，

     若成等比數列，則，

即．

由，可得，即，

        ．

（1）（法一）在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

．

（2）①當n為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

綜合①、②可得的取值范圍是．

（3），

     若成等比數列，則，

即．

由，可得，即，

．

又，且m>1，所以m=2，此時n=12．

因此，當且僅當m=2， n=12時，數列中的成等比數列

已知數列是首項為的等比數列，且滿足.

（1）   求常數的值和數列的通項公式；

（2）   若抽去數列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數列，試寫出數列的通項公式；

（3） 在（2）的條件下，設數列的前項和為.是否存在正整數，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數的值；若不存在，請說明理由.

【解析】第一問中解：由得，，

又因為存在常數p使得數列為等比數列，

則即，所以p=1

故數列為首項是2，公比為2的等比數列，即.

此時也滿足，則所求常數的值為1且

第二問中，解：由等比數列的性質得：

（i）當時，；

（ii） 當時，，

所以

第三問假設存在正整數n滿足條件，則，

則（i）當時，

，