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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=

2

，∠CDA=45°．
（I）求證：平面PAB⊥平面PAD；
（II）設AB=AP．
（i）若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長；
（ii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由．

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如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（I）求證：平面PBE⊥平面PBD；
（II）若二面角P-AB-D為45°，求直線PA與平面PBE所成角的正弦值．

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如圖：直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是邊長為2a的菱形，∠BAD=60°，E為AB中點，二面角A₁-ED-A為60°．
（I）求證：平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁；
（II）求二面角A₁-ED-C₁的余弦值；
（III）求點C₁到平面A₁ED的距離．

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如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD
（I）求證：平面PAD⊥平面PCD
（II）試在平面PCD上確定一點 E 的位置，使|

AE

|最小，并說明理由；
（III）當AD=AB時，求二面角A-PC-D的余弦值．

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如圖，多面體ABCD-EFG中，底面ABCD為正方形，GD∥FC∥AE，AE⊥平面ABCD，其正視圖、俯視圖如下：
（I）求證：平面AEF⊥平面BDG；
（II）若存在λ＞0使得

AK

=λ

AE

，二面角A-BG-K的大小為60°，求λ的值．

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1．B    2 D．  3．B    4．C      5．C     6．C    7．B    8．C    9．D   10．B

11．D   12．B

13．240   14．1     15．  16. ①②③

17．（本題滿分10分）

解：(Ⅰ)由

    又   

(Ⅱ)

同理：

故，，.

18．（本題滿分12分）

解：(Ⅰ)記“這批太空種子中的某一粒種子既發芽又發生基因突變”為事件，則.    

(Ⅱ)

19．（本題滿分12分）

解  (Ⅰ)∵，∴{}是公差為4的等差數列，

∵a₁=1, =+4(n－1)=4n－3,∵a_n>0,∴a_n= 

(Ⅱ)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=,由b_n<,得m>,

設g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N^*上是減函數，

∴g(n)的最大值是g(1)=5,

∴m>5,存在最小正整數m=6,使對任意n∈N^*有b_n<成立

20．（本題滿分12分）

解法一：

（I）設是的中點，連結，則四邊形為正方形，

．故，，，，即．

又，

平面，

（II）由（I）知平面，

又平面，，

取的中點, 連結，又，則．

取的中點，連結，則,.

為二面角的平面角．

連結，在中，，，

取的中點，連結，，

在中，，，．

．

二面角的余弦值為．

解法二：

（I）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，,.

，,

又因為 所以，平面.

（II）設為平面的一個法向量．

由，，

得    取，則．

又，，設為平面的一個法向量，

由，，得取，則，

設與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

,

21．（本題滿分12分）    

解：(Ⅰ) ,_{在上是增函數，在上是減函數,}

_{∴當時, 取得極大值.}

_∴即.

_由,得,

_{則有 ,}

_遞增

_極大值4

_遞減

_極小值0

_遞增

_所以, 當時,函數的極大值為4;極小值為_0; 單調遞增區間為_和.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, _,的兩個根分別為. ∵_{在上是減函數,∴},即,

_.

22．（本題滿分12分）

解:（I）依題意，可知，

∴  ，解得

∴橢圓的方程為

（II）直線：與⊙相切，則，即，

由，得，

∵直線與橢圓交于不同的兩點設

∴，

，

∴

∴       ∴，

∴

設，則，

∵在上單調遞增          ∴.