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34 .已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O,給出下列四個論斷① OA＝OC ② AB＝CD ③ ∠BAD＝∠DCB ④ AD∥BC請你從中選擇兩個論斷作為條件,以“四邊形ABCD為平行四邊形 作為結論,完成下列各題:①構造一個真命題.畫圖并給出證明,②構造一個假命題.舉反例加以說明. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（2008•徐州）已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，給出下列四個論斷：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
請你從中選擇兩個論斷作為條件，以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結論，完成下列各題：
①構造一個真命題，畫圖并給出證明；
②構造一個假命題，舉反例加以說明．

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（2008•徐州）已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，給出下列四個論斷：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
請你從中選擇兩個論斷作為條件，以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結論，完成下列各題：
①構造一個真命題，畫圖并給出證明；
②構造一個假命題，舉反例加以說明．

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（2008•徐州）已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，給出下列四個論斷：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
請你從中選擇兩個論斷作為條件，以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結論，完成下列各題：
①構造一個真命題，畫圖并給出證明；
②構造一個假命題，舉反例加以說明．

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（2008•徐州）已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，給出下列四個論斷：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
請你從中選擇兩個論斷作為條件，以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結論，完成下列各題：
①構造一個真命題，畫圖并給出證明；
②構造一個假命題，舉反例加以說明．

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已知四邊形ABCD的面積為32，AB、CD、AC的長都是整數，且它們的和為16．
（1）這樣的四邊形有幾個？
（2）求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值．

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一、填空題：

1．60°．

2．答案不惟一，如：AE=CF，∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF；

3．1；

4.4。

5.60

7．2－2     

8.15。

9.5

10.4

11.5

12. 2,3,n。

14．

 

15. (-8,0)。

 

16.6。

17. .平行四邊形。

18.60

19．4，12           

二、選擇題：

1．C

 

2．C

3.B

4.B

 

5.B

6.A

 

7.C。

 

8.B。

 

9.C

 

10.D

 

 

11.C。

 

12.B

13.B　

14.C　

15.D

16. C

17．C   

18．D    

19.D

20.C

21.D

22.D。

三、解答題：

1．（1）如圖答2，因為AD∥BC，AB∥DC  ------------------------------------------------- 2分

所以四邊形ABCD為平行四邊形．---------------------------------------------------------------- 3分

分別過點B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分別為點E、F．

則BE = CF．-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

因為∠DAB =∠BAF，所以Rt△DAB≌Rt△BAF．--------------------------------------------- 5分

所以AD = AB．            

所以四邊形ABCD為菱形．-------------------------------------------------------------------------- 6分

（2）存在最小值和最大值．-------------------------------------------------------------------------- 7分

① 當∠DAB = 90°時，菱形ABCD為正方形，周長最小值為8；---------------------------8分

② 當AC為矩形紙片的對角線時，設AB = x，如圖答3，在Rt△BCG中，

，．所以周長最大值為17．-------------------------------------------9分

          

 

 

                                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2．證明：  ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO-------------------------------1′       

              證得：△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

          證得：四邊形AECF是平行四邊形------------------------------------------------5′

　　　    由AC⊥EF可知：四邊形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

 

 

5．（本題滿分8分）

解：（1）方法一：如圖①

∵在□ ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB＋∠ABC＝180°                  ………………………1分

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF              ………………………2分

∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°

即∠BAE＋∠ABF＝90°                 ………………………3分

∴∠AMB＝90°

∴AE⊥BF．                                     …………………………4分

            
   
            
    
    
            
    
            圖②
             
             
             
             
             
             
            方法二：如圖②,延長BC、AE相交于點P      
            ∵在□ABCD中，AD∥BC
            ∴∠DAP＝∠APB                                             
 …………………………1分
            ∵AE平分∠DAB
            ∴∠DAP＝∠PAB          
                                    …………………………2分
            ∴∠APB＝∠PAB
            ∴AB＝BP                                                             
     ………………………3分
            ∵BF平分∠ABP
            ∴:AP⊥BF
            即AE⊥BF．                            
                               ………………………4分
            (2)方法一：線段DF與CE是相等關系，即DF＝CE      ………………5分
            ∵在□ABCD中，CD∥AB
            ∴∠DEA＝∠EAB
            又∵AE平分∠DAB
            ∴∠DAE＝∠EAB
            ∴∠DEA＝∠DAE
            ∴DE＝AD                                         ………………………6分
            同理可得，CF＝BC                               ………………………7分
            又∵在□ABCD中，AD＝BC
            ∴DE＝CF
            ∴DE－EF＝CF－EF
            即DF＝CE．                                        
………………………8分
            方法二：如右圖,延長BC、AE設交于點P，延長AD、BF相交于點O       …5分
            ∵在□ABCD中，AD∥BC
            ∴∠DAP＝∠APB                                              
    
            ∵AE平分∠DAB
            ∴∠DAP＝∠PAB                                             
    
            ∴∠APB＝∠PAB
            ∴BP＝AB 
            同理可得，AO＝AB                 

               
∴AO＝BP                                   ………………………6分
                    ∵在□ABCD中，AD＝BC
                    ∴OD＝PC
             又∵在□ABCD中，DC∥AB
                   ∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA                  ………………………7分
                   ∴＝，＝
                  
∴DF＝CE．                                        
                            ………………………8分
             
            6.　（1）（2）略　　　（3）設BC=x，則DC＝x  ,BD＝，CF＝（－1）x
            GD2=GE?GB=4－2     
DC2+CF2=(2GD)2 　　即　x2+（－1）2x2＝4（4－2）
            （4－2）x2＝4（4－2）  　　x2＝4　　　正方形ABCD的面積是4個平方單位
             
             
            7．（本小題滿分5分）
            證明：∵  AB∥CD
            ∴                …………1分
            ∵  
            ∴  △ABO≌△CDO                
…………3分
            ∴                      …………4分
            ∴  四邊形ABCD是平行四邊形       …………5分
             
             
             
             
             
            11．證明：（1）①在和中，
            ，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
            ．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
            ②，
            ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
            ，
             
            12．（本題7分）
            解：（1）在梯形中，，
            ，，
            ，
            ．
            ，
            ，
            ．
            ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
            ．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
            ，，
            ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
            與的函數表達式是
            ；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
            （2）
            ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
            當時，有最大值，最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
             
             
             
            13．證明：菱形中，．???????????????????? 1分
            分別是的中點，
            ．?????????????????? 3分
            又，．????????????????? 5分
            ．??????????????????????????????? 7分
            14.

            15．證明：四邊形是平行四邊形，，．
            ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
            平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
            ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
            ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
            又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
             
            16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
            ②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
            （2）不合理．例如，對兩個相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當時，矩形就變成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
            17．解：（1）正方形中，，．
            又，因此，即菱形的邊長為．
            在和中，，
            ，，
            ．．
            ，，
            ，即菱形是正方形．
            同理可以證明．
            因此，即點在邊上，同時可得，
            從而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
            （2）作，為垂足，連結，
            ，，
            ，．
            ．
            在和中，，，
            ．
            ，即無論菱形如何變化，點到直線的距離始終為定值2．
            因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
            （3）若，由，得，此時，在中，．
            相應地，在中，，即點已經不在邊上．
            故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
            另法：由于點在邊上，因此菱形的邊長至少為，
            當菱形的邊長為4時，點在邊上且滿足，此時，當點逐漸向右運動至點時，的長（即菱形的邊長）將逐漸變大，最大值為．
            此時，，故．
            而函數的值隨著的增大而減小，
            因此，當時，取得最小值為．
            又因為，所以，的面積不可能等于1．????????????????????? 9分
            18.
            19．證明：在等腰中，，．
            　　　　　，，．又，
            　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
            　　　　　．．
            　　　　　．．．?????????????????? 5分
            　　　　　又不平行，四邊形是梯形．??????????????????????????????????? 7分
            　　　　　四邊形是等腰梯形．（理由：同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形，或兩腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
             
            20．解：（1）在矩形中，，，
            ．……………………1分
            　　　　，．
            　　　　，即，
		
            

            

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