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如圖，矩形ABCD與矩形AB′C′D全等，且所在平面所成的二面角為a，記兩個(gè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)分別為Q，Q′，AB=a，AD=b．
（1）求證：QQ′∥平面ABB′；
（2）當(dāng)b=

2

a，且a=

π

3

時(shí)，求異面直線AC與DB′所成的角；
（3）當(dāng)a＞b，且AC⊥DB'時(shí)，求二面角a的余弦值（用a，b表示）．

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某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率，如圖．（ 例如：A→C→D算作兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為

1

10

，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為

1

15

）．
（1）請(qǐng)你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；
（2）若記ξ路線A→（3）C→（4）F→（5）B中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

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一、選擇題：  B C A D B       C A B D C

二、填空題：

  11、       12、      13、  

14、      15、②③

三、解答題：

16．解：(1)    ……………………………1分

=

==      …………………………………………4分 

∵θ∈［π，2π］，∴，

∴≤1      則 _max=2． ………………………………………………6分                                             

(2)  由已知,得     …………………………………8分            

又   _∴      ……………………10分  

∵θ∈［π，2π］∴，∴． …………………12分

17．解：依題意知：.……4分

   （1）對(duì)于

且是奇函數(shù)……………………………………….……6分

   （2） 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增………………………………………….…8分

……….…………..…10分

又………….……12分

18．解：（1）當(dāng)

                    ………………2分

，..............................................5分

故        ................6分

定義域?yàn)?sub>     .................................7分

   （2）對(duì)于，             

顯然當(dāng)（元），    ..................................9分

∴當(dāng)每輛自行車的日租金定在11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多。..........12分

19．解：（1）由題意               …………………………2分

當(dāng)時(shí)，取得極值，  所以

                即      …………………4分

           此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

             是函數(shù)的最小值。          ………………………6分

       （2）設(shè)，則  ，……8分

            設(shè)，

            ，令解得或

       列表如下：

__

0

+

函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。

當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值……10分

函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)

     或             ……12分

20．解：（1），

．令，則．…………2分

，當(dāng)時(shí)，，則．數(shù)列不是等比數(shù)列． 

當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列．………………… 5分

當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為2． 

，即．解得．……7分

（2）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，， 

．

令，   ………………………①

則， …………②

由①-②：

               ，

，    ………………………………..………11分

則．      …………………..………13分

21．解：（1）∵成等比數(shù)列　∴　 設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，依橢圓的定義得

即為所求的橢圓方程.         ……………………5分     

（2）假設(shè)存在，因與直線相交，不可能垂直軸   …………………6分

 因此可設(shè)的方程為：由

　 ①     ……………………8分

方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

∴　②        ………10分

設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為　∴

∵線段恰被直線平分　∴

∵　∴ ③　把③代入②得

∵　 ∴　∴解得或    ………13分

∴直線的傾斜角范圍為                 …………………14分