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練習冊

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試題

A．當 B．當【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

下列命題（為虛數單位）中正確的是
①a，b∈R，若a＞b，則a+i＞b+i；
②當z是非零實數時，|z+

1

z

|≥2恒成立；
③復數z=（1-i）³的實部和虛部都是-2；
④如果|a+2i|＜|-2+i|，則實數a的取值范圍是-1＜a＜1；
⑤復數z₁，z₂與復平面的兩個向量

OZ1

，

OZ2

相對應，則

OZ1

•

OZ2

=z1•z2
其中正確的命題的序號是

②③④

②③④

．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）．

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按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為a元，如果他賣出該產品的單價為m元，則他的滿意度為

m

m+a

；如果他買進該產品的單價為n元，則他的滿意度為

a

n+a

．如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h₁和h₂，則他對這兩種交易的綜合滿意度為

h1h2

．現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為m_A元和m_B元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h_甲，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h_乙
（1）求h_甲和h_乙關于m_A、m_B的表達式；當mA=

3

5

mB時，求證：h_甲=h_乙；
（2）設mA=

3

5

mB，當m_A、m_B分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？
（3）記（2）中最大的綜合滿意度為h₀，試問能否適當選取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同時成立，但等號不同時成立？試說明理由．

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（2013•廣東模擬）已知向量

a

=(sinx，

3

4

)，

b

=(cosx，-1)．
（1）當

a

∥

b

時，求cos²x-sin2x的值；
（2）設函數f(x)=2(

a

+

b

)•

b

，已知在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=

3

，b=2，sinB=

6

3

，若f(x0)+cos(2A+

π

6

)=-

1

2

+

3

2

5

，x0∈[

π

8

，

π

2

]，求cos2x₀的取值范圍．

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若函數f（x）=4x³+bx²+ax+5當x=

3

2

、x=-1時有極值，則（　　）

A、a=-18，b=-3

B、a=-18，b=3

C、a=18，b=-3

D、a=18，b=3

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設函數f(x)=

1

3

x3-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1．
（1）若曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處有相同的切線，求實數a，b的值；
（2）當b=

1-a

2

時，若函數h（x）=f（x）+g（x）在區間（-2，0）內恰有兩個零點，求實數a的取值范圍；
（3）當a=1，b=0時，求函數h（x）=f（x）+g（x）在區間[t，t+3]上的最小值．

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一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分。在每小題經出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。））

1―5DCBAC 6―10BCADB 11―12BB

二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分。將符合題意的答案填在題后的橫線上）

13．2 14．70 15． 16．

三、解答題：本大題共6個小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17．解：（I）…………4分

…………6分

（II）

…………8分

…………10分

18．解：（I）設通曉英語的有人，

且…………1分

則依題意有：

…………3分

所以，這組志愿者有人。…………4分

（II）所有可能的選法有種…………5分

A被選中的選法有種…………7分

A被選中的概率為…………8分

（III）用N表示事件“B，C不全被選中”，則表示事件“B，C全被選中”……10分

則…………11分

所以B和C不全被選中的概率為……12分

說明：其他解法請酌情給分。

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（I），

AD為PD在平面ABC內的射影。

又點E、F分別為AB、AC的中點，

在中，由于AB=AC，故

，平面PAD……4分

（II）設EF與AD相交于點G，連接PG。

平面PAD，dm PAD,交線為PG，

過A做AO平面PEF，則O在PG上，

所以線段AO的長為點A到平面PEF的距離

在

即點A到平面PEF的距離為…………8分

說明：該問還可以用等體積轉化法求解，請根據解答給分。

（III）

平面PAC。

過A做，垂足為H，連接EH。

則

所以為二面角E―PF―A的一個平面角。

在

即二面角E―PF―A的正切值為

…………12分

解法二：

AB、AC、AP兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，

則A（0，0，0），E（2，0，0），D（2，2，0），F（0，2，0），P（0，0，2）……2分

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且

平面PAD

（II）為平面PEF的一個法向量，

則

令…………6分

故點A到平面PEF的距離為：

所以點A到平面PEF的距離為…………8分

（III）依題意為平面PAF的一個法向量，

設二面角E―PF―A的大小為（由圖知為銳角）

則，…………10分

即二面角E―PF―A的大小…………12分

20．解：（I）依題意有： ①

所以當 ②……2分

①-②得：化簡得：

所以數列是以2為公差的等差數列。…………4分

故…………5分

設

是公比為64的等比數列

…………8分

（II）……9分

…………10分

…………11分

…………12分

21．解：（I）設，則依題意有：

故曲線C的方程為…………4分

注：若直接用

得出，給2分。

（II）設，其坐標滿足

消去…………※

故…………5分

而

化簡整理得…………7分

解得：時方程※的△>0

（III）

因為A在第一象限，故

由

故

即在題設條件下，恒有…………12分

22．解：（I）…………3分

處的切線互相平行

…………5分

…………6分

（II）

令

當

是單調增函數。…………9分

恒成立，

…………10分

值滿足下列不等式組

①，或②

不等式組①的解集為空集，解不等式組②得

綜上所述，滿足條件的…………12分

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