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練習冊

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試題

20．設數列【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

設數列{a_n}是公差不為0的等差數列，a₁=2且a₁，a₅，a₁₃成等比數列，則數列{a_n}的前n項和S_n=（　　）

A、

n2

4

+

7n

4

B、

n2

3

+

5n

3

C、

n2

2

+

3n

4

D、n²+n

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設數列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

n

3

，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）設bn=

n

an

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

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設數列{a_n}的通項公式為a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．數列{b_n}定義如下：對于正整數m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=

1

2

，q=-

1

3

，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求數列{b_m}的前2m項和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

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設數列{a_n}是等比數列，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是(x+

1

4x2

)4的展開式中的第二項（按x的降冪排列）．
（1）用n，x表示通項a_n與前n項和S_n；
（2）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

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設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n
（Ⅰ）證明：當b=2時，{a_n-n•2^n-1}是等比數列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項公式．

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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。

1―6BBCDBD 7―12CACAAC

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分。

13．0.8；

14．

15．；

16．①③

三、解答題：

17．解：（1）由，

得

由正弦定得，得

又B

又

又 6分

（2）

由已知

9分

當

因此，當時，

當，

12分

18．解：（1）依題意，甲答對主式題數的可能取值為0,1,2,3，則

4分

的分布列為

0

1

2

3

P

甲答對試題數的數學期望為

6分

（2）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則

9分

因為事件A、B相互獨立，

甲、乙兩人考試均不合格的概率為

甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

答：甲、乙兩人于少有一人考試合格的概率為 12分

另解：甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為

答：甲、乙兩人于少有一人考試合格的概率為

19．解法一（1）過點E作EG交CF于G，

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//

所以AD=EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形

故AE//DG 4分

因為平面DCF，平面DCF，

所以AE//平面DCF 6分

（2）過點B作交FE的延長線于H，

連結AH，BH。

由平面，

所以為二面角A―EF―C的平面角

在

又因為

所以CF=4，從而BE=CG=3。

于是 10分

在

則，

因為

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解法二：（1）如圖，以點C為坐標原點，

建立空間直角坐標系

設

則

于是

20．解：（1）當時，由已知得

同理，可解得 4分

（2）解法一：由題設

當

代入上式，得（*） 6分

由（1）可得

由（*）式可得

由此猜想： 8分

證明：①當時，結論成立。

②假設當時結論成立，

即

那么，由（*）得

所以當時結論也成立，

根據①和②可知，

對所有正整數n都成立。

因 12分

解法二：由題設

當

代入上式，得 6分

-1的等差數列，

12分

21．解：（1）由橢圓C的離心率

得，其中，

橢圓C的左、右焦點分別為

又點F₂在線段PF₁的中垂線上

解得

4分

（2）由題意，知直線MN存在斜率，設其方程為

由

消去

設

則

且 8分

由已知，

得

化簡，得 10分

整理得

直線MN的方程為，

因此直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0） 12分

22．解： 2分

（1）由已知，得上恒成立，

即上恒成立

又當

4分

（2）當時，

在（1，2）上恒成立，

這時在[1，2]上為增函數

當

在（1，2）上恒成立，

這時在[1，2]上為減函數

當時，

令

又

9分

綜上，在[1，2]上的最小值為

①當

②當時，

③當 10分

（3）由（1），知函數上為增函數，

當

即恒成立 12分

恒成立 14分

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