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（A）（不等式選做題）
若關于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在實數解，則實數a的取值范圍是

（-∞，-3]∪[3，+∞）

（-∞，-3]∪[3，+∞）

．
（B）（幾何證明選做題）
如圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC=4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為

2 3

3

2 3

3

．
（C）（坐標系與參數方程選做題） 
在已知極坐標系中，已知圓ρ=2cosθ與直線 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，則實數a=

2或-8

2或-8

．

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（A）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經過圓心交⊙O于C，D兩點，若PA=2，AB=4，PO=5，則⊙O的半徑長為

13

13

．

（B）選修4-4：坐標系與參數方程
參數方程

x= 1 2 (et+e-t) y= 1 2 (et-e-t)

中當t為參數時，化為普通方程為

x²-y²=1

x²-y²=1

．
（C）選修4-5：不等式選講
不等式|x-2|-|x+1|≤a對于任意x∈R恒成立，則實數a的集合為

{a|a≥3}

{a|a≥3}

．

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數   學（理科）    2009.4

一、選擇題：本大題共有10小題，每小題5分，共50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

A

B

B

A

C

C

B

B

二、填空題：本大題共有7小題，每小題4分，共28分．

11． －1   12． 110   13． 78   14．  15．  16． 7   17．

三．解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

18．（Ⅰ）解：．……………………… 4分

由，解得 ．

所以函數的單調遞增區間為 ．…………… 7分

（Ⅱ）解：由，得．故．……………… 10分

于是有 ，或，

即或．因，故．……………… 14分

19．（Ⅰ）解：恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形：

開心心，心開心，心心開，心心樂．

則恰好摸到2個“心”字球的概率是

．………………………………………6分

（Ⅱ）解：，

則 ，，

．…………………………………………10分

故取球次數的分布列為

1

2

3

．…………………………………………………14分

20．（Ⅰ）解：因在底面上的射影恰為B點，則⊥底面．

所以就是與底面所成的角．

因，故 ，

即與底面所成的角是．……………………………………………3分

如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則

，

，．

則，

故與棱BC所成的角是．…………………………………………………7分

（Ⅱ）解：設，則．于是

（舍去），

則P為棱的中點，其坐標為．…………………………………………9分

設平面的法向量為，則

，故．…………………11分

而平面的法向量是，

則，

故二面角的平面角的余弦值是．………………………………14分

21．（Ⅰ）解：由題意知：，，，解得．

故橢圓的方程為．…………………………………………………5分

   （Ⅱ）解：設，

⑴若軸，可設，因，則．

由，得，即．

若軸，可設，同理可得．……………………7分

⑵當直線的斜率存在且不為0時，設，

由，消去得：．

則．………………………………………9分

．

由，知．

故 ，即（記為①）．…………11分

由，可知直線的方程為．

聯立方程組，得 （記為②）．……………………13分

將②代入①，化簡得．

綜合⑴、⑵，可知點的軌跡方程為.………………………15分

22．（Ⅰ）證明：當時，．令，則．

若，遞增；若，遞減，

則是的極（最）大值點．于是

，即．故當時，有．………5分

（Ⅱ）解：對求導，得．

①若，，則在上單調遞減，故合題意．

②若，．

則必須，故當時，在上單調遞增．

③若，的對稱軸，則必須，

故當時，在上單調遞減．

綜合上述，的取值范圍是．………………………………10分

（Ⅲ）解：令．則問題等價于

        找一個使成立，故只需滿足函數的最小值即可．

        因，

而，

故當時，，遞減；當時，，遞增．

于是，．

與上述要求相矛盾，故不存在符合條件的．……………………15分