題目列表(包括答案和解析)
在多面體
中，點
是矩形
的對角線的交點，三角形
是等邊三角形，棱
且
．
（Ⅰ）證明：
平面；
（Ⅱ）設
，
，
，求
與平面所成角的正弦值。
如圖：在多面體
中，
，
,
，
。
（1）求證：
;
(2)求證：
；
（3）求二面角
的余弦值。
如圖：在多面體
中，
，
,
，
。
（1）求證：
;
(2)求證：
；
（3）求二面角
的余弦值。
中，
，
,
，
。
;
；
的余弦值。一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、G分別是AB、DF的中點。
（1） 在AD上（含A、D端點）確定一點P，使得GP//平面FMC；
（2） 一只蒼蠅在幾何體ADF-BCE內自由飛翔，求它飛入幾何體F-AMCD內的概率。
第Ⅰ部分（正卷）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分。
1、
2、
3、對任意
使
4、2 5、
6、
7、
8、8
9、
10、40
11、
12、4
13、
14、
二、解答題：本大題共6小題，計90分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區域內。
15、解：（1）解：
，
由
，有
，
解得
。
……7分
（2）解法一：
……11分
。
……14分
解法二：由（1），，得
∴
∴
……10分
于是
，
……12分
代入得
。
……14分
16、證明：（1）∵
∴
……4分
（2）令
中點為
，
中點為
，連結
、
∵是
的中位線
∴
……6分
又∵
∴
∴
……8分
∴
∵
為正
∴
……10分
∴
又∵
，
∴四邊形
為平行四邊形 ……12分
∴
∴
……14分
17、解：（1）設
米，
，則
∵
∴
∴
……2分
∴
∴
……4分
∴
∴
或
……5分
（2）
……7分
此時
……10分
（3）∵
令
，
……11分
∵
當
時，
∴在
上遞增
……13分
∴
此時
……14分
答：（1）
或
（2）當
的長度是
的面積最小，最小面積為24平方米；
（3）當的長度是的面積最小，
最小面積為27平方米。
……15分
18、（1）解：①若直線
的斜率不存在，即直線是
，符合題意。 ……2分
②若直線斜率存在，設直線為
，即
。
由題意知，圓心
以已知直線的距離等于半徑2，即：
，
解之得
……5分
所求直線方程是，
……6分
（2）解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為
由
得
……8分
又直線
與垂直，由
得
……11分
∴
……13分
為定值。
故
是定值，且為6。
……15分
19、解：（1）由題意得
，
……2分
∴
，
∴
……3分
∴
，∴
在
是
單調增函數， ……5分
∴
對于
恒成立。
……6分
（2）方程
； ∴
……7分
∵
，∴方程為
……9分
令
，
，
∵
，當
時，
，∴
在
上為增函數；
時，
， ∴在
上為減函數， ……12分
當
時，
……13分
，
∴函數
、
在同一坐標系的大致圖象如圖所示，
∴①當
，即
時，方程無解。
②當
，即
時，方程有一個根。
③當
，即
時，方程有兩個根。 ……16分
第Ⅱ部分（附加卷）
一、必做題
21、解：（1）由
得
，
求得
，
，
……3分
(2)猜想
……5分
證明：①當時，猜想成立。
……6分
②設當
時
時，猜想成立，即
，
……7分
則當
時，有
,
所以當時猜想也成立
……9分
③綜合①②，猜想對任何
都成立。
……10分
22、解：（1）“油罐引爆”的事件為事件A，其對立事件
，則
∴
答：油罐被引爆的概率為
……5分
（2）射擊次數
的可能取值為2，3，4，5，
，
，
，
……7分
故的分布列為：
2
3
4
5
P
……10分
二、選做題（每題10分）（選兩道）
1、證明：因為A，M，D，N四點其圓，
所以
，
……3分
同理，有
……5分
所以
， ……7分
即
，
所以
……10分
2、解：（1）設A的一個特值為
，由題意知：
=0
，
……2分
當時，由
，得A屬于特征值2的特征向量
當時，由 
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