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一次高中數學期末考試，選擇題共有個，每個選擇題給出了四個選項，在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 評分標準規定：對于每個選擇題，不選或多選或錯選得分，選對得分．在這次考試的選擇題部分，某考生比較熟悉其中的個題，該考生做對了這個題．其余個題，有一個題，因全然不理解題意，該考生在給出的四個選項中，隨機選了一個；有一個題給出的四個選項，可判斷有一個選項不符合題目要求，該考生在剩下的三個選項中，隨機選了一個；還有兩個題，每個題給出的四個選項，可判斷有兩個選項不符合題目要求，對于這兩個題，該考生都是在剩下的兩個選項中，隨機選了一個選項．請你根據上述信息，解決下列問題：
（Ⅰ）在這次考試中，求該考生選擇題部分得分的概率；
（Ⅱ）在這次考試中，設該考生選擇題部分的得分為，求的數學期望．

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1．C       2．C       3．B       4．A      5．C       6．C       7．D      8．C       9．D      10．B

1l．B      12．A

2．解析：

       ，∴選C．

3．解析：是增函數 

       故，即

       又

       ，故選B．

4．解析：如圖作出可行域，作直線，平移直線至位置，使其經過點．此時目標函數取得最大值（注意與反號）

由得

       ，故選A

5．解析：設有人投中為事件，則，

       故選C．

6．解析：展開式中通項；

       由，得，故選C．

7．解析：

       由得

，故選D．

8．略

9．解析：由得準線方程，雙曲線準線方程為

       ，解得，

       ，故選D．

10．解析：設正四面體的棱長為2，取中點為，連接，則為與所成的角，在中

，故選B．

11．解析：

由題意，則，故選B．

12．解析：由已知，

       為球的直么

       ，又，

       設，則

       ，

       又由，解得

       ，故選A．

另法：將四面體置于正方休中．

       正方體的對角線長為球的直徑，由此得，然后可得．

二、填空題

13．3；解析：在上的投影是．

14．（0．2）；解析：由，解得．

15．

解析：，

       由余弦定理為鈍角

       ，即，

       解得．

16．②③；

解析：容易知命題①是錯的，命題②、③都是對的，對于命題④我們考查如圖所示的正方體，政棱長為，顯然與為平面內兩條距離為的平行直線，它們在底面內的射影、仍為兩條距離為的平行直線．但兩平面與卻是相交的．

三、

17．解：（1），

              ，

即，故．

       （2）

              由得．

設邊上的高為。則

．

18．（1）設甲、乙兩人同時參加災區服務為事件，則．

（2）記甲、乙兩人同時參加同一災區服務為事件，那么．

19．解：

（1）平面

           ∵二面角為直二面角，且，

              平面              平面．

（2）（法一）連接交交于點，連接是邊長為2的正方形，                  ，

平面，由三垂線定理逆定理得

是二面角的平面角

由（1）平面，

．

在中，

∴在中，

故二面角等于．

（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點為坐標原點建立空間坐標系，則

              ，

              設平面的法向量分別為，則由

              得，而平面的一個法向理

              故所求二面角等于．

20．解：（1）由題設，即

              易知是首項為，公差為2的等差數列，

           ∴通項公式為，

    （2）由題設，，得是以公比為的等比數列．

        由得．

21．解：（1）由題意，由拋物線定義可求得曲線的方程為．

（2）證明：設點、的坐標分別為

             若直線有斜率時，其坐標滿足下列方程組：

              ，        

              若沒有斜率時，方程為．

              又．

              ；又，

                          ．

22．（1）解：方程可化為．

當時，，又，于是，解得，故．

       （2）解：設為曲線上任一點，由知曲線在點處的切線方程為，即．

              令，得，從而得切線與直線的交點坐標為

令，得，從而得切線與直線的交點坐標為．所以點處的切線與直線所圍成的三角形面積為．故曲線上任一點處的切線與直線所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6．