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極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為z軸的正半軸，兩種坐標系的長度單位相同，己知圓C₁的極坐標方程為p=4（cosθ+sinθ），P是C₁上一動點，點Q在射線OP上且滿足
OQ=OP，點Q的軌跡為C₂．
（I）求曲線C₂的極坐標方程，并化為直角坐標方程；
（ II）已知直線l的參數方程為（t為參數，0≤φ＜π），l與曲線C₂有且只有一個公共點，求φ的值．

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選修4-4：坐標系與參數方程
極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為z軸的正半軸，兩種坐標系的長度單位相同，己知圓C₁的極坐標方程為p=4（cosθ+sinθ，P是C₁上一動點，點Q在射線OP上且滿足OQ=OP，點Q的軌跡為C₂．
（I）求曲線C₂的極坐標方程，并化為直角坐標方程；
（ II）已知直線l的參數方程為（t為參數，0≤φ＜π），l與曲線C₂有且只有一個公共點，求φ的值．

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一、選擇題（4′×10=40分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

B

C

D

C

A

A

B

A

三、填空題（4′×4=16分）

11．       12．          13．       14．

三、解答題（共44分）

15．①解：原不等式可化為：  ………………………2′

   作根軸圖：

                                                      ………………………4′

可得原不等式的解集為：  ………………………6′

②解：直線的斜率  ………………………2′

∵直線與該直線垂直

∴   則的方程為： ………………………4′

即為所求………………………6′

16．解：∵  則，且………………………1′

∴有………………………3′

        ………………………4′

     ………………………5′

當且僅當： 即………………………5′

       亦:時取等號

所以:當時,………………………7′

17．解：將代入中變形整理得：

………………………2′

首先且………………………3′

設   

由題意得：

解得：或（舍去）………………………6′

由弦長公式得：………………………8′

18．解①設雙曲線的實半軸，虛半軸分別為，

則有：   ∴………………………1′

于是可設雙曲線方程為：  ①或 ②………………………3′

將點代入①求得：

將點代入②求得： (舍去) ………………………4′

∴,

∴雙曲線的方程為：………………………5′

②由①解得:,,,焦點在軸上………………………6′

∴雙曲線的準線方程為:………………………7′

漸近線方程為: ………………………8′

19．解：①設為橢圓的半焦距,則,

   ∵  ∴  ∴………………………1′

將代入,可求得

  ∵  ∴

即  又、………………………3′

∴，

∵………………………5′

∴

從而

∴離心率………………………6′

②由拋物線的通徑

得拋物線方程為，其焦點為………………………7′

∴橢圓的左焦點

∴

由①解得：

∴………………………8′

∴該橢圓方程為：………………………9′

③