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（本小題滿分14分）

已知函數對于任意（），都有式子成立（其中為常數）．

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）利用函數構造一個數列，方法如下：

對于給定的定義域中的，令，，…，，…

在上述構造過程中，如果（=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續下去；如果不在定義域中，那么構造數列的過程就停止.

（ⅰ）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求的取值范圍；

（ⅱ）是否存在一個實數，使得取定義域中的任一值作為，都可用上述方法構造出一個無窮數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（ⅲ）當時，若，求數列的通項公式．

（本小題滿分14分）已知函數在處取得極值.

⑴求的解析式；

⑵設是曲線上除原點外的任意一點,過的中點且垂直于軸的直線交曲線于點,試問：是否存在這樣的點,使得曲線在點處的切線與平行？若存在,求出點的坐標；若不存在,說明理由；

⑶設函數,若對于任意,總存在,使得,求

實數的取值范圍.

（本小題滿分14分）已知函數處取得極值2.

       （1）求函數的解析式； 

（2）實數m滿足什么條件時，函數在區間上單調遞增？

          （3）是否存在這樣的實數m，同時滿足：①；②當恒成立.若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.

（本小題滿分14分）

　　已知：函數（），．

　　（1）若函數圖象上的點到直線距離的最小值為，求的值；

　　（2）關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；

　　（3）對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得不等式和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”。設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

（本小題滿分14分） 對函數Φ（x），定義f_k（x）＝Φ（x－mk）＋nk（其中x∈（mk，

m＋mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n為常數）為Φ（x）的第k階階梯函數，m叫做階寬，n叫做階高，已知階寬為2，階高為3．

（1）當Φ（x）＝2^x時  ①求f₀（x）和f_k（x）的解析式；  ②求證：Φ（x）的各階階梯函數圖象的最高點共線；

（2）若Φ（x）＝x²，則是否存在正整數k，使得不等式f_k（x）＜（1－3k）x＋4k²＋3k－1有解？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．