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100

150

200

P

19．(1)解：設(shè)M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即                        2分
因此點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，a = 2，c = 1
∴曲線C的方程為．                                                                                4分

(2)解法一：設(shè)直線PQ方程為 (∈R)
由 得：                                                            6分
顯然，方程①的，設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則有

                                                           8分
令，則t≥3，                                                             10分
由于函數(shù)在[3，＋∞)上是增函數(shù)，∴
故，即S≤3
∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分

解法二：設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，易知S = 3
設(shè)直線PQ方程為
由  得：  ①                                         6分
顯然，方程①的△＞0，則
∴                                    8分
                                10分
　　　　
令，則，即S＜3

∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分

20．(1)解：∵，
∴                                                                         2分
當(dāng)時(shí)，
∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；
∴當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)取極小值，其極小值為0．                                                          4分

(2)解：由(1)可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個(gè)公共點(diǎn)．
設(shè)隔離直線的斜率為k，則直線方程為，即              6分
由，可得當(dāng)時(shí)恒成立
由得：                                                                              8分
下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．
令，
則，                                                                           10分
當(dāng)時(shí)，．
∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；
∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為0．                                                        12分
從而，即恒成立．
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．                                              13分

21．(1)解：記
令x = 1得：
令x =－1得：
兩式相減得：
∴                                                                                                        2分
當(dāng)n≥2時(shí)，
當(dāng)n = 1時(shí)，，適合上式
∴                                                                                                 4分

(2)解：
注意到                               6分
令，
則
∴
故，即                                             8分

(3)解：
　　　 (n≥2)                                                                        10分
∴
　        12分
∵
∴                                                       14分